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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 10

Calcule a integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y

Passo 1

Faala, galera!!

Essa questão é diretona: só calcular a integral.

Como é uma integral dupla, a gente vai primeiro transformar o integrando (que é a função dentro da integral) em um produto de uma função de x com uma função de y , e ai o nosso problema vira um produto de duas integrais simples, usando essa propriedade:

∫ c d ∫ a b f x ∙ g y d x d y = ∫ a b f x d x ∙ ∫ c d g y d y

Passo 2

Pra conseguirmos separar essa função em uma função de x vezes uma função de y , a gente vai separar essa soma no expoente, e ai fica assim:

e x + 3 y = e x ⏟ f x ∙ e 3 y ⏟ g y

Então, nossa integral fica assim:

∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 3 e x ∙ e 3 y d x d y =

= ∫ 0 3 e x d x ∙ ∫ 0 1 e 3 y d y

Nossa missão então virou resolver cada integral simples!

Passo 3

Primeiro a integral de x :

∫ 0 3 e x   d x = e x 0 3 =

= e 3 - e 0 = e 3 - 1

Agora a integral de y :

∫ 0 1 e 3 y   d y =

Vamos usar uma substituição u = 3 y :

d u = 3 d y ⇒ d y = 1 3 d u

u 0 = 0 ; u 1 = 3

Então:

= ∫ 0 3 e u ∙ 1 3 d u =

E resolvemos a integral em função de u :

= 1 3 ∙ e u 0 3 = 1 3 e 3 - e 0 =

= 1 3 e 3 - 1

Por fim, voltando para a integral original:

∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y = ∫ 0 3 e x d x ∙ ∫ 0 1 e 3 y d y =

= e 3 - 1 ∙ 1 3 ∙ e 3 - 1

Então nossa integral fica assim:

∫ 0 1 ∫ 0 3 e x + 3 y d x d y = 1 3 e 3 - 1 2

Resposta

1 3 e 3 - 1 2

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