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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.2 - Ex. 9

Calcule a integral iterada.

int_1^4 int_1^2 ((x)/(y) + (y)/(x)) d y d x

Passo 1

Pessoal, quando a gente tem uma integral dupla, a gente sempre começa resolvendo de dentro pra fora, assim:

int_1^4 (int_1^2 (x (1)/(y) + (1)/(x) y) d y) d x = int_1^4 ([x ln | y | + (1)/(x) (y^2)/(2)]_1^2) d x = int_1^4 (x ln | 2 | + (1)/(x) (2^2)/(2) - x ln |1| - (1)/(x) (1^2)/(2)) d x = int_1^4 (x ln 2 + (1)/(x) 2 - x . 0 - (1)/(x) (1)/(2)) d x = int_1^4 ((ln 2) x + (2 - (1)/(2)) (1)/(x)) d x = int_1^4 ((ln 2) x + (3)/(2) (1)/(x)) d x

Passo 2

Agora, é só resolver a integral simples que restou:

int_1^4 ((ln 2) x + (3)/(2) (1)/(x)) d x = [( ln 2 ) (x^2)/(2) + (3)/(2) ln |x|]_1^4 = ( ln 2 ) (4^2)/(2) + (3)/(2) ln |4| - ( ln 2 ) (1^2)/(2) - (3)/(2) ln |1| = ( ln 2 ) 8 + (3)/(2) ln 4 - ( ln 2 ) (1)/(2) - (3)/(2) . 0 = 8 ln 2 + (3)/(2) ln 2^2 - (1)/(2) ln 2 = 8 ln 2 + (3)/(2) . 2 ln 2 - (1)/(2) ln 2 = (21)/(2) ln 2

Beleza?

Resposta

(21)/(2) ln 2

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int_0^1 int_0^1 v (u - v^2)^4 d u d v
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