Calcule a integral tripla. ∭ T x y zd V , onde T é o tetraedro sólido com vértices ( 0,0 , 0 ) , ( 1,0 , 0 ) , ( 1 , 1,0 ) e ( 1 , 0,1 )

Enunciado

No espaço temos os quatro pontos

Onde 3 deles estão sobre o plano .

Precisamos achar o plano que passa por , e . Esse plano dos dará a variação de que vai de até esse plano. Para isso, temos a equação

Quando e

E também sabemos que do ponto

Quando e

E sabemos que , do ponto

Quando e

E do ponto

Então temos e , que na fórmula do plano, podemos colocar quanquer valor, então para

Isolando , temos

E podemos colocar a variação de como .

Agora no plano temos que a área é limitada pelo triangulo de vértices , e

O triangulo é limitado por , e a reta que passa por e que é a reta

Podemos escrever como

E escrevemos como sendo

Resolvendo a integral, temos

Agora calculando a integral dupla