Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 23
Considere o problema de minimizar a função na curva (uma piriforme).
(a) Tente utilizar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema.
(b) Mostre que o valor mínimo é , mas que a condição não é satisfeita para nenhum valor de .
(c) Explique por que os multiplicadores de Lagrange falham em encontrar o mínimo neste caso.
Passo 1
Oie, vamos para mais uma resolução. Aqui a gente precisa responder diversas perguntas sobre a maximização da função:
Com a restrição:
Para usar os multiplicadores de Lagrange, a gente utiliza a igualdade:
Em que é o gradiente e é dado por:
Para derivar parcialmente devemos derivar em relação a uma variável e considerar todas as outras com constantes.
Com isso em mãos, a gente encontra os valores de e resolvendo os sistema com a equação da restrição. Iremos então encontrar um ponto critico que deve ser testado na função .
Passo 2
- Para usar multiplicadores de Lagrange, devemos ter:
- Vamos analisar a curva de restrição:
Lembrando que e , vamos calcular as derivadas parciais:
E
Agora para :
E
Nosso gradiente é então:
Então ficamos com três equações:
Veja que precisamos satisfazer todas as três equações.
Passo 3
Olhando pra primeira equação, vemos que , o que nos leva a concluir na segunda:
Agora, podemos substituir esse valor de na terceira equação:
Mas se , isso nos levaria a uma contradição na primeira equação, então
Portanto o mínimo é:
Passo 4
Passando o para o outro lado da igualdade:
Podemos verificar que essa desigualdade só se satisfaz quando , pois faz parte do domínio da função.
E como , basta pegar o menor valor possível de para obtermos o mínimo. Então, de fato, é o mínimo.
Porém, não existe nenhum valor de que consiga satisfazer a seguinte equação, se :
Passo 3
(c) No ponto de mínimo, teríamos , mas o método dos multiplicadores de Lagrange requer em qualquer ponto da curva de restrição.
Resposta
(a)
(c)