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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.9 - Ex. 16

  1. Encontre desigualdades que descrevam uma bola oca com diâmetro de 30 cm e espessura de 0,5 cm. Explique como você posicionou o sistema de coordenadas que escolheu.
  2. Suponha que a bola seja cortada pela metade. Escreva desigualdades que descrevam uma das metades.

Passo 1

Vamos lá galerinha, tudo bom? Vejam que precisamos encontrar algumas desigualdades, que descrevaa uma bola oca e essa mesma bola cortada pela metade.

Por falar em bola, faz muito sentido utilizarmos coordenadas esféricas. Vamos recordar o que é cada item nas coordenadas esféricas? Veja a imagem:

A reta em preto ρ significa o raio, enquanto em roxo temos o ângulo θ e em verde o ângulo ϕ .

Temos que identificar quais valores serão obtidos para cada uma dessas coordenadas e escrever isso matematicamente.

Passo 2

  1. Vamos lá, temos então uma camada externa de 0,5 cm de espessura e um diâmetro de 30 cm, porque p vai em todas as direções:

Veja que ρ é o raio da esfera em que há sólido, ou seja, se a esfera é oca não há sólido em seu interior, apenas em sua espessura. Se o diâmetro é 30 o raio externo é   15 e a esperssura é 0,5 . Então:

14,5 ≤ p ≤ 15

Para ter a bola toda temos:

0 ≤ θ ≤ 2 π

E por último, temos a direção da bola em z :

0 ≤ ϕ ≤ π

Passo 3

Com a bola cortada na metade vamos ter a mesma desigualdade para p :

14,5 ≤ p ≤ 15

Para ter a bola na metade temos:

0 ≤ θ ≤ π

E por último, temos a direção da bola em z :

0 ≤ ϕ ≤ π

Resposta

  1. 14,5 ≤ p ≤ 15 ,   0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ ϕ ≤ π
  2. 14,5 ≤ p ≤ 15 ,   0 ≤ θ ≤ π ,   0 ≤ ϕ ≤ π
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Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W x 2 + y 2 + z 2 1 / 2 d x d y d z Onde W é a região dada por: i )W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ a 2 i i )
Calcule as integrais triplas abaixo, usando uma mudança de variáveis conveniente. ∫ ∫ ∫ W d x d y d z x 2 + y 2 + z 2 Onde W é o sólido definido por: W = x ,y ,z ∈ R 3|x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 y ,z ≤ x 2 +
Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral ∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕd ρd ϕd θ E calcule a integral.
Calcule o valor da integral múltipla. ∫ ∫ ∫ H z 3 ⋅x 2 + y 2 + z 2d V ondeH é o hemisfério sólido com centro na origem e raio 1 , que está acima do plano x y .
Utilize coordenadas esféricas para calcular int_(- 2)^2 int_0^(sqrt(4 - y^2)) int_(- sqrt(4 - x^2 - y^2))^(sqrt(4 - x^2 - y^2)) y^2 * sqrt(x^2 + y^2 + z^2) d z d x d y