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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 10

Calcule a integral tripla.

∭ E e z / y d V

Onde,

E = x , y , z | 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1,0 ≤ z ≤ x y

Passo 1

Fala, galera! Tudo belê?

Olha só, a questão jogou na nossa cara uma integral tripla e algumas informações sobre os limites de integração e quer da gente o cálculo dela. Moleza, né?

Temos a nossa integral aqui:

∭ E e z / y d V

Onde

d V = d x d y d z

Já sabemos quem são nossos limites de integração:

0 ≤ y ≤ 1

y ≤ x ≤ 1

0 ≤ z ≤ x y

Percebe que somente o y tem pontos bem definidos, enquanto os eixos x e z tem funções como limites?

Por isso, precisamos ter cuidado na hora de colocar a ordem de integração. Como o resultado deve ser um número, integrar em relação a y com valores certinhos deve ser nosso último trabalho.

Assim, ficaremos com:

∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 x y e z / y d z d x d y

Belê? 😊

Passo 2

Vamos começar integrando, de dentro para fora, certo?

Primeiro em relação a z . Teremos:

∫ 0 x y e z y d z

Pela regra da substituição, teremos que

u = z y

d u = 1 y d z

d z = y d u

Assim,

∫ 0 x y e u y d u

Colocando y para fora da integral como uma constante, resolvemos:

y ∫ 0 x y e u d u

y e u 0 x y

Sabemos quem é u , logo

y e z y 0 x y

E substituindo pelos limites de integração, ficaremos com

y e x y y - y e 0 y = y e x - y e 0

y e x - y

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a x . Logo,

∫ y 1 y e x - y d x

Podemos dividir essa integral e resolver:

∫ y 1 y e x d x - ∫ y 1 y d x

Essa primeira integral é desenvolvida do mesmo jeito que no passo anterior, e nessa segunda integral só precisamos acrescentar o x , portanto ficaremos com

y e x - y x y 1

Substituindo...

( y e - y ) - y e y - y 2

Organizando, teremos

- y e y + y e - 1 + y 2

Ou melhor

- y e y + e y - y + y 2

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a y .

∫ 0 1 - y e y + e y - y + y 2 d y

Podemos dividir essa integral em várias, assim ficaremos com

- ∫ 0 1 y e y   d y + ∫ 0 1 e y   d y - ∫ 0 1 y   d y + ∫ 0 1 y 2 d y

A primeira integral resolveremos por integração por partes, já que temos um polinômio e um e . Por isso faremos

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Como

u = y d u = d y v = e y d v = e y d y

Substituindo:

y e y - ∫ e y d y

Assim, teremos

y e y - e y

Logo, resolvendo cada uma das integrais, ficaremos com

- y e y - e y + e y 2 2 - y 2 2 + y 3 3 0 1

Organizando, teremos

- y e y + e y + e y 2 - y 2 2 + y 3 3 0 1

Fazemos a mágica com os limites de integração:

- e + e + e - 1 2 + 1 3 - - 0 + e 0 + 0 2 + 0 3 3

e - 1 2 + 1 3 - 1

e 2 - 1 2 + 1 3 - 1   =   e 2 - 7 6

Fazendo um m.m.c.zinho básico, teremos

3 e - 7 6

Show de bola 😊

Resposta

∭ E e z / y d V = ∫ 0 1 ∫ y 1 ∫ 0 x y e z / y d z d x d y = 3 e - 7 6

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Calcule a seguinte integral tripla: ∭ W zd xd yd x Onde, W é a região no primeiro octante limitada pelos planos y = 0 , z = 0 , x + y = 2 , 2 y + x = 6 e o cilindro y 2 + z 2 = 4 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo. W é limitado pelo cone z = x 2 + y 2 e o parabolóide z = x 2 + y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(b) W é limitado pelas superfícies z = 8 - x 2 - y 2 e z = x 2 + 3 y 2 .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo:(e) W = {(x , y , z) in R^3,z = 1 ; x + y + z = 7 ; x = y^2} .
Calcule o volume do sólido W descrito abaixo.(c) W é limitado pelas superfícies z = 4 - x 2 - y 2 e z = y , está situado no interior do cilindro x 2 + y 2 = 1 , e z ≥ 0 .