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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 5

Calcule a integral iterada.

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z

Passo 1

Opa, mestre do raciocínio! Preparado para encarar essa questão de cálculo? Vamos arrasar!

Para resolvermos esse exercício, precisamos calcular a integral iterada.

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z

Primeiro, precisamos integrar em relação a y , depois a x e por último a z . A ordem das variáveis de integração é determinada pela proximidade do d y em relação à função.

Muito cuidado para não errar a ordem de integração! A ordem será dada pelo d que está mais próximo da função!

Passo 2

Vamos integrar a função x e - y em relação a y , mantendo x e z como constantes:

∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y

A integral de x e - y em relação a y é:

x e - y = - x e - y

Avaliando de 0 a ln ⁡ x :

∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y = - x e - y 0 ln ⁡ x

- x e - ln ⁡ x + x = - x + 1 2 + x

= - 1 + x

Portanto, a integral tripla se transforma em:

∫ 1 2 ∫ 0 2 z - 1 + x d x d z

Passo 3

Agora, integrando - 1 + x em relação a x , mantendo z constante:

∫ 0 2 z - 1 + x d x

A integral de - 1 + x é:

- x + x 2 2

Avaliando de 0 a 2 z :

∫ 0 2 z - 1 + x d x = - x + x 2 2 0 2 z

= - 2 z + 2 z 2 2 - - 0 + 0 2 2

= - 2 z + 2 z 2

Portanto, a integral tripla agora é:

∫ 1 2 - 2 z + 2 z 2 d z

Passo 4

Por fim, basta integrarmos - 2 z + 2 z 2 em relação a z :

∫ 1 2 - 2 z + 2 z 2 d z

A integral de - 2 z + 2 z 2 é:

- z 2 + 2 z 3 3

Avaliando de 1 a 2 :

= - z 2 + 2 z 3 3 1 2

Calculando:

- 4 + 16 3 - - 1 + 2 3 = - 1 2 3 + 16 3 - - 3 3 + 2 3

4 3 + 1 3 = 5 3

Resposta

∫ 1 2 ∫ 0 2 z ∫ 0 ln ⁡ x x e - y d y d x d z = 5 3

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