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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 11

Calcule a integral tripla.

∭ E z x 2 + z 2 d V  

Onde,

E = { ( x , y , z ) | 1 ≤ y ≤ 4 ,   y ≤ z ≤ 4 ,   0 ≤ x ≤ z }

Passo 1

Falaaaaaaiiii, vamo lá resolver essa questão?! Simbora!

Ela pede o cálculo dessa integral tripla aqui, ó:

∭ E z x 2 + z 2 d V

Onde já temos informações sobre a região E , e nossos limites de integração serão:

1 ≤ y ≤ 4

y ≤ z ≤ 4

0 ≤ x ≤ z

Antes da gente jogar na integral, precisamos ter cuidado na hora de escolher a ordem de integração.

Percebe que somente o y tem pontos bem definidos, enquanto os eixos x e z tem funções como limites?

Como o resultado deve ser um número, integrar em relação a y com valores certinhos deve ser nosso último passo.

Então ficará dessa forma:

∫ 1 4 ∫ y 4 ∫ 0 z   z x 2 + z 2   d x   d z   d y

Show? 😉

Passo 2

Vamos começar integrando de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a x :

∫ 0 z z x 2 + z 2   d x

Como o z do numerador para fora como se fosse uma constante:

z ∫ 0 z 1 x 2 + z 2   d x

Epa! Dentro dessa integral podemos fazer uma substituição trigonométrica. Ela tem essa car aqui:

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a arctan ⁡ x a + C

Olhando para nosso integrando, sabemos quem é a , então

1 z arctan ⁡ x z

Daí,

z 1 z arctan ⁡ x z 0 z

Organizando:

z z arctan ⁡ x z 0 z

arctan ⁡ x z 0 z

Substituindo os limites de integração:

arctan ⁡ z z - arctan ⁡ 0 z = π 4

Passo 3

Vamos agora integrar em relação a z , daí:

∫ y 4 π 4   d z  

Colocando π 4 para fora como uma constante...

π 4 ∫ y 4   d z  

π 4 z y 4

Resolvendo os limites de integración...

π 4 ( 4 - y )

Passo 4

Por fim, felizmente hehehe, integrando em relação a y , vamos ter:

∫ 1 4 π 4 ( 4 - y ) d y

Pra fora a fração como constante...

π 4 ∫ 1 4 ( 4 - y ) d y

π 4 4 y - y 2 2 1 4

Assim, teremos

π 4 16 - 16 2 - 4 - 1 2

π 4 8 - 7 2 = 9 π 8

Show de bola 😊

Resposta

∭ E z x 2 + z 2 d V = ∫ 1 4 ∫ y 4 ∫ 0 z   z x 2 + z 2   d x   d z   d y = 9 π 8

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