Calcule a integral tripla. ∭ E z x 2 + z 2 d V Onde, E = { ( x , y , z ) | 1 ≤ y ≤ 4 ,y ≤ z ≤ 4 ,0 ≤ x ≤ z }

∭ E z x 2 + z 2 d V = ∫ 1 4 ∫ y 4 ∫ 0 zz x 2 + z 2d xd zd y = 9 π 8

Enunciado

Falaaaaaaiiii, vamo lá resolver essa questão?! Simbora!

Ela pede o cálculo dessa integral tripla aqui, ó:

Onde já temos informações sobre a região , e nossos limites de integração serão:

Antes da gente jogar na integral, precisamos ter cuidado na hora de escolher a ordem de integração.

Percebe que somente o tem pontos bem definidos, enquanto os eixos e tem funções como limites?

Como o resultado deve ser um número, integrar em relação a com valores certinhos deve ser nosso último passo.

Então ficará dessa forma:

Show? 😉

Vamos começar integrando de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a :

Como o do numerador para fora como se fosse uma constante:

Epa! Dentro dessa integral podemos fazer uma substituição trigonométrica. Ela tem essa car aqui:

Olhando para nosso integrando, sabemos quem é , então

Daí,

Organizando:

Substituindo os limites de integração:

Vamos agora integrar em relação a , daí:

Colocando para fora como uma constante...

Resolvendo os limites de integración...

Por fim, felizmente hehehe, integrando em relação a , vamos ter:

Pra fora a fração como constante...

Assim, teremos

Show de bola 😊