Calcule a integral tripla.

Onde está abaixo do plano e acima da região triangular com vértices , e .

Vamos começar olhando pra região : abaixo do plano e acima da região triangular com vértices , e .

De cara, a questão já disse que , porque a região está abaixo de .

Além disso, tá acima dessa região triangular. Só que percebeu que o valor de nos três vértices é ? Ou seja, a região tá acima de uma superfície em :

Então

Essa região é o interior do triângulo, que está no plano :

Pra definir os limites de e , vamos descobrir quem é essa reta que liga e .

Em uma reta do tipo , o coeficiente linear é o valor onde a reta corta o eixo , nesse caso, . O coeficiente angular calculamos assim:

Então:

Como o nesse domínio varia de até essa reta,

E o varia de até .

Então temos os limites das nossas três variáveis:

E assim a gente consegue reescrever nossa integral como uma integral iterada. Só lembrando que como os limites de e dependem de , o vai ser a última variável a ser integrada:

Começamos integrando em função de , considerando e como constantes:

Como é constante, o pode sair dessa integral, e fica:

Resolvendo os limites de integração:

Agora integramos em função de , considerando constante:

O pode sair dessa integral, e resolvemos:

Substituindo nos limites:

Por último, integramos em função de :

Vamos reescrever , usando a propriedade:

Então

Mas e , então

Voltando para a integral:

Podemos fazer uma distributiva, e separar em duas integrais:

A segunda integral vamos integrar por partes:

Então:

Voltando pra integral:

Resolvendo a primeira integral:

Agora é só substituir nos limites de integração:

Como , e , resolvemos:

Então a integral vale: