Determine a área da superfície.

A parte do plano 3 x + 2 y + z = 6 que está no primeiro octante.

Passo 1

Show de bola meu amigo, queremos calcular a área da parte de um plano que está no primeiro octante. Em... oque é o primeiro octante? Não é nada menos que a região no gráfico 3 D em que todas as coordenadas s��o positivas. O plano a ser calculado é:

3 x + 2 y + z = 6

Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de z em função de x e de y para só depois resolvermos as integrais.

Passo 2

Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função z = f x , y . Sendo assim, vamos escrever a função do plano em função de z :

3 x + 2 y + z = 6

Rearranjando:

- 3 x - 2 y + 6 = z

Derivando apenas em relação a x : (considere as outras variáveis como constantes).

∂ z ∂ x = ∂ - 3 x - 2 y + 6 ∂ x = - 3

O mesmo deve ser feito para y :

∂ z ∂ y = ∂ - 3 x - 2 y + 6 ∂ y = - 2

Portanto, devemos resolver a seguinte integral:

A S = ∬ D 1 + - 3 2 + - 2 2 d A

= ∬ D 14 d A

Se está no primeiro octante, então x ≥ 0 , y ≥ 0 e z ≥ 0 . Para podermos descobrir os limites de x e y , precisamos fazer z = 0 na equação do plano, com isto, obtemos:

3 x + 2 y = 6

A interseção do plano dado com o plano x y deu esta reta acima, que possui x máximo igual a 2 e y máximo em 3 . Logo, temos uma região tanto do tipo I quanto do tipo II. Descrevendo-a como uma região do tipo I, temos:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 3 - 3 x 2

Passo 3

Agora, só nos basta aplicarmos os limites de integração e resolvermos a integral. Portanto,

A S = ∫ 0 2 ∫ 0 3 - 3 x 2 14 d y d x

A S = ∫ 0 2 3 - 3 x 2 14 d x

A S = 14 3 x - 3 x 2 4 0 2 = 3 14

Resposta

A S = 3 14

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