Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.6 - Ex. 3
Determine a área da superfície.
A parte do plano que está no primeiro octante.
Passo 1
Show de bola meu amigo, queremos calcular a área da parte de um plano que está no primeiro octante. Em... oque é o primeiro octante? Não é nada menos que a região no gráfico em que todas as coordenadas s��o positivas. O plano a ser calculado é:
Precisamos lembrar primeiramente como calculamos a área de uma superfície. Para isto, basta resolver a seguinte integral:
Portanto, precisamos calcular primeiramente as derivadas parciais de em função de e de para só depois resolvermos as integrais.
Passo 2
Vamos determinar primeiramente as derivadas parciais da função . Sendo assim, vamos escrever a função do plano em função de
Rearranjando:
Derivando apenas em relação a : (considere as outras variáveis como constantes).
O mesmo deve ser feito para :
Portanto, devemos resolver a seguinte integral:
Se está no primeiro octante, então , e . Para podermos descobrir os limites de e , precisamos fazer na equação do plano, com isto, obtemos:
A interseção do plano dado com o plano deu esta reta acima, que possui máximo igual a e máximo em . Logo, temos uma região tanto do tipo I quanto do tipo II. Descrevendo-a como uma região do tipo I, temos:
Passo 3
Agora, só nos basta aplicarmos os limites de integração e resolvermos a integral. Portanto,