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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 5f

Calcule.

underset(x -> p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(p))/(x - p) (p != 0)

Passo 1

Para calcular esse limite vemos que apenas substituindo o valor p na expressão não é uma boa tentativa, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

É preciso então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, então vamo lá!!

Passo 2

No numerador temos raízes cúbicas, podemos fazer a seguinte manipulação, pegando cada elemento do denominador e tirando a raíz cúbica e elevando ao cubo:

x - p = (root(3)(x))^3 - (root(3)(p))^3

Fizemos isso porque agora podemos usar a seguinte fórmula, pois temos essa expressão desse formato:

a^3 - b^3 = ( a^2 + a . b + b^2 ) ( a - b )

Assim temos a = root(3)(x) e b = root(3)(p) :

x - p = (root(3)(x))^3 - (root(3)(p))^3 = ((root(3)(x))^2 + root(3)(x) * root(3)(p) + (root(3)(p))^2) (root(3)(x) - root(3)(p)) = (root(3)(x^2) + root(3)(x p) + root(3)(p^2)) (root(3)(x) - root(3)(p))

Vamos substituir no limite:

underset(x -> p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(p))/(x - p) = underset(x -> p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(p))/((root(3)(x^2) + root(3)(x p) + root(3)(p^2)) (root(3)(x) - root(3)(p))) = underset(x -> p)(lim) (1)/(root(3)(x^2) + root(3)(x p) + root(3)(p^2))

Passo 3

Agora é só substituir o valor p na expressão, e pronto, tudo resolvido:

underset(x -> p)(lim) (1)/(root(3)(x^2) + root(3)(x p) + root(3)(p^2)) = (1)/(root(3)(p^2) + root(3)(p * p) + root(3)(p^2)) = (1)/(root(3)(p^2) + root(3)(p^2) + root(3)(p^2)) = (1)/(3 root(3)(p^2))

Resposta

underset(x -> p)(lim) (root(3)(x) - root(3)(p))/(x - p) = (1)/(3 root(3)(p^2))

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