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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 4a

Calcule underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) sendo f dada por

f (x) = x^2

Passo 1

Para calcular esse limite vamos primeiro substituir a função f (x) = x^2 no limite:

underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f (x))/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 - x^2)/(h)

Podemos pensar em calcular esse limite apenas substituindo o valor 0 na expressão, entretando, ao fazer isso, ficamos com a inderterminação

(0)/(0)

Vamos então fazer manipulações para tirar essa indeterminação, só analisar um pouco e vamos descobrir, calma que vai da certo!

Passo 2

Vamos tentar manipular o numerador, resolvendo a expressão elevada ao quadrado:

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 - x^2)/(h) = underset(h -> 0)(lim) ((x^2 + 2 x h + h^2) - x^2)/(h)

Repara que o termo x^2 será anulado, então ficamos com,

= underset(h -> 0)(lim) (2 x h + h^2)/(h)

Agora podemos colocar o h em evidência e simplificar com o h do denominador, vamos lá:

= underset(h -> 0)(lim) (h (2 x + h))/(h)

Logo,

= underset(h -> 0)(lim) 2 x + h

Agora vamos calcular o limite!

Passo 3

Pronto, agora é simples, só substituir o valor 0 na expressão:

underset(h -> 0)(lim) 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x

Resposta

underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 - x^2)/(h) = 2 x

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