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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1h

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (5 x^4 - 2 x + 1)/(4 x^4 + 3 x + 2)

Passo 1

Oi, pessoal! Se a gente for substituir + oo na expressão vamos achar uma indeterminação do tipo (oo)/(oo) .

underset(x -> + oo)(lim) (5 x^4 - 2 x + 1)/(4 x^4 + 3 x + 2) = (oo)/(oo)

Então vamos ter que manipular essa função para encontrar esse limite. A dica aqui é tentar ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) . Porque ai, x -> + oo , a fração tende a 0, e assim fica simples de resolver o limite.

Passo 2

Vamos colocar em evidência a maior potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

underset(x -> + oo)(lim) (5 x^4 - 2 x + 1)/(4 x^4 + 3 x + 2) = underset(x -> + oo)(lim) (x^4 (5 - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(x^4 (4 + (3)/(x^3) + (2)/(x^4)))

A gente pode simplificar o x^4

underset(x -> + oo)(lim) (5 - (2)/(x^3) + (1)/(x^4))/(4 + (3)/(x^3) + (2)/(x^4))

Agora vamos aplicar o x -> + oo

Passo 3

Resolvendo esse limite, temos que tudo estiver dividindo por x vai tender a zero. Então fica assim:

underset(x -> + oo)(lim) (5 - (2)/(x^3) + (1)/(x^4))/(4 + (3)/(x^3) + (2)/(x^4)) = (5 - (2)/(oo) + (1)/(oo))/(4 + (3)/(oo) + (2)/(oo)) = (5 - 0 + 0)/(4 + 0 + 0) = (5)/(4)

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (5 x^4 - 2 x + 1)/(4 x^4 + 3 x + 2) = (5)/(4)

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