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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 4e

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) [ln (2 x + 1) - ln (x + 3)]

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> + oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos usar uma propriedade dos logaritmos:

ln a - ln b = ln ((a)/(b))

Assim:

underset(x -> + oo)(lim) [ln (2 x + 1) - ln (x + 3)] = underset(x -> + oo)(lim) ln ((2 x + 1)/(x + 3))

Vamos agora colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2 x + 1)/(x + 3)) = underset(x -> + oo)(lim) ln ((x (2 + (1)/(x)))/(x (1 + (3)/(x)))) = underset(x -> + oo)(lim) ln ((2 + (1)/(x))/(1 + (3)/(x)))

Agora podemos aplicar o limite, lembrando que temos (k)/(x) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (k)/(x) vai está, onde k é uma constante:

underset(x -> + oo)(lim) ln ((2 + (1)/(x))/(1 + (3)/(x))) = ln ((2 + 0)/(1 + 0)) = ln 2

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) [ln (2 x + 1) - ln (x + 3)] = ln 2

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Quais afirmações a seguir sobre a função y = f ( x ) representadas no gráfico são verdadeiras e quais são falsas? lim x → - 1 + ⁡ f x = 1 b) lim x → 0 - ⁡ f x = 0 c) lim x → 0 - ⁡ f x = 1 d) lim x → 0
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Quais afirmações a seguir sobre a função y = f ( x ) representadas no gráfico são verdadeiras e quais são falsas? lim x → - 1 + ⁡ f x = 1 b) lim x → 2 ⁡ f xn a oe x i s t e c) lim x → 2 ⁡ f x = 2 d) l
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