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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1f

Calcule

f . underset(x -> + oo)(lim) ((5 x^3 - 6 x + 1)/(6 x^2 + x + 3))

Passo 1

Oi, pessoal! Vamos começar substituindo oo , no nosso problema:

underset(x -> + oo)(lim) ((5 x^3 - 6 x + 1)/(6 x^2 + x + 3)) = (oo)/(oo)

Repara que caímos em uma indeterminação do tipo (oo)/(oo) . Para resolver esse tipo de limite devemos seguir os seguintes passos:

  • Identificar o termo de maior ordem;
  • Dividir todos os termos por um termo de mesma ordem e coeficiente 1 ;
  • Daí sim partir para a análise do limite, lembrando (para n >= 1 ):

underset(x -> oo)(lim) (C)/(x^n) -> 0

underset(x -> oo)(lim) (x^n)/(C) -> oo

Ou seja, a parte exponencial estiver no denominador o limite vai para zero, mas se estiver no numerado ele vai infinito.

Passo 2

Agora vamos analisar nosso limite. O termo de maior ordem é 5 x^3 , então vamos dividir todos os termos por x^3 :

underset(x -> + oo)(lim) ((5 x^3 - 6 x + 1)/(6 x^2 + x + 3)) = underset(x -> + oo)(lim) (((5 x^3)/(x^3) - (6 x)/(x^3) + (1)/(x^3))/((6 x^2)/(x^3) + (x)/(x^3) + (3)/(x^3))) = underset(x -> + oo)(lim) ((5 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3))/((6)/(x) + (1)/(x^2) + (3)/(x^3)))

Agora vamos aplicar o limite!

Passo 3

Agora vamos analisar o que restou: todos os termos divididos ou por x , x^2 ou x^3 , quando x -> oo vão a zero. Sendo assim sobrou apenas o 5 :

underset(x -> + oo)(lim) ((5 - (6)/(x^2) + (1)/(x^3))/((6)/(x) + (1)/(x^2) + (3)/(x^3))) = (5)/(0^+) = + oo

E esse limite tende a + oo . Ok?

Resposta

+ oo

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