Calcule

c . lim x → + ∞ ⁡ [ 2 x - x 2 + 3 ]

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = ( 2 x - x 2 + 3 ) quando x tende a infinito.

Pra resolver isso, vamos separar esse limite na subtração de dois limites:

lim x → + ∞ ⁡ [ 2 x - x 2 + 3 ] = lim x → + ∞ ⁡ 2 x - lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3

A partir daí, vamos analisar o comportamento da função quando x tende a números infinitamente grandes.

Vamos lá!

Passo 2

Quando x → + ∞ , o primeiro limite tende a + ∞ , certo? Olha só:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

E o segundo? Bom, quando temos um limite infinito, a constante 3 pode ser praticamente desprezada, porque ela não influenciar em nada na nossa função, nesse caso. Assim, temos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 ~ lim x → + ∞ ⁡ x 2

E sabendo que x 2 = | x | , então quando x → + ∞ , temos que | x | também tende a + ∞ . Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 3 = + ∞

Com isso, temos que

lim x → + ∞ ⁡ [ 2 x - x 2 + 3 ] = ∞ - ∞

Então caímos em indeterminação! Para resolver esse limite, vamos ter que multiplicar pelo conjugado!

Passo 3

O conjugado de 2 x - x 2 + 3 é:

2 x + x 2 + 3

Então, multiplicando esse conjugado no nosso limite, vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x - x 2 + 3 . 2 x + x 2 + 3 2 x + x 2 + 3

Multiplicando os termos:

lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 - ( x 2 + 3 ) 2 x + x 2 + 3 = 3 x 2 - 3 2 x + x 2 + 3

Resolvendo o limite ficamos com:

l i m x → + ∞ 3 x 2 - 3 2 x + x 2 + 3 = ∞ ∞

Caímos em outra indeterminação!

Passo 4

Para resolver o limite:

l i m x → + ∞ 3 x 2 - 3 2 x + x 2 + 3

Vamos dividir o numerador e denominador pelo maior grau, no caso é x 2 :

= l i m x → + ∞ 3 x 2 x 2 - 3 x 2 2 x x 2 + x 2 x 4 + 3 x 4 = l i m x → + ∞ 3 - 3 x 2 2 x + 1 x 2 + 3 x 4

Aplicando o limite, temos que c / x n quando x → ∞ é zero, logo:

l i m x → + ∞ 3 0 = + ∞

Então esse limite é + ∞ . Beleza?

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

+ ∞

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