Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 1 - 3 x

Passo 1

Vamos fazer algumas manipulações, primeiro vamos colocar 2 x em evidência no numerador e 3 x em evidência no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 1 - 3 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 2 x - 1 3 x 1 3 x - 1

Podemos aqui usar a propriedade da multiplicação nesse limite:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 2 x - 1 3 x 1 3 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 3 x ⋅   1 2 x - 1 1 3 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅   1 2 x - 1 1 3 x - 1

Agora a propriedade da divisão e da subtração:

lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅   1 2 x - 1 1 3 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅ lim x → + ∞ ⁡   1 2 x - 1 1 3 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅ lim x → + ∞ ⁡   1 2 x - 1 lim x → + ∞ ⁡   1 3 x - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅ lim x → + ∞ ⁡   1 2 x - lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   1 3 x - lim x → + ∞ ⁡   1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅ lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   2 x - lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   3 x - lim x → + ∞ ⁡   1

Agora vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

No primeiro temos que:

lim x → + ∞ ⁡ a x = 0 se 0 < a < 1

Vamos ver isso graficamente com a expressão a x com 0 < a < 1 :

Vemos pelo gráfico que quando x → + ∞ os valores da função tendem a zero, assim:

lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x = 0

Passo 3

Agora no numerador:

Temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

No outro limite vamos usar que:

lim x → + ∞ ⁡ a x = + ∞ se a > 1

Assim:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

Passo 4

Agora no denominador:

Temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

E no outro limite vamos usar que:

lim x → + ∞ ⁡ a x = + ∞ se a > 1

Assim:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x = + ∞

Passo 5

Por último é só juntar os resultados e pronto:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 1 - 3 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 3 x ⋅ lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   2 x - lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   1 lim x → + ∞ ⁡   3 x - lim x → + ∞ ⁡   1 = 0 ⋅ 1 ∞ - 1 1 ∞ - 1 = 0 ⋅ 0 - 1 0 - 1 = 0 ⋅ 1 = 0

Lembre que 1 ∞ tende a zero, pois quanto maior o valor do denominador, mais próximo de zero 1 ∞ vai está.

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 2 x 1 - 3 x = 0

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