Calcule o limite.

lim x → - 1 ⁡ x 2 + 6 x + 5 x 2 - 3 x - 4

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o - 1 . Então vamos lá!

L = - 1 2 + 6 ⋅ - 1 + 5 - 1 2 - 3 ⋅ - 1 - 4

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar a expressão para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

x 2 + 6 x + 5

Assim,

x = - 6 ± 6 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 5 2 ⋅ 1

Arrumando as coisas:

x = - 6 ± 16 2

Logo,

x = - 5 ou x = - 1

Fatorando:

x 2 + 6 x + 5 = x + 5 x + 1

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo para o denominador.

x 2 - 3 x - 4

Assim,

x = 3 ± - 3 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 4 2 ⋅ 1

Arrumando as coisas:

x = 3 ± 25 2

Logo,

x = 4 ou x = - 1

Fatorando:

x 2 - 3 x - 4 = x - 4 x + 1

Passo 4

Voltando para o limite:

L = lim x → - 1 ⁡   x + 5 x + 1 x - 4 x + 1

Simplificando:

lim x → - 1 ⁡   x + 5 x - 4

Pra finalizar, basta fazermos x = - 1 e correr pro abraço. Assim,

L = - 1 + 5 - 1 - 4

Fazendo as contas:

L = - 4 5

Resposta

L = - 4 5

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