Calcule o limite.

lim x → a ⁡ x 2 + 1 - a x - a x - a

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o a . Então vamos lá!

L = a 2 + 1 - a a - a a - a

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que fatorar o numerador para buscar alguma simplificação.

Passo 2

Para fatorar o numerador vamos resolver a equação do segundo grau:

x 2 + 1 - a x - a

Assim,

x = a - 1 ± 1 - a 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - a 2 ⋅ 1

Arrumando as coisas:

x = a - 1 ± a 2 + 2 a + 1 2 ⋅ 1 → x = a - 1 ± a + 1 2 2 ⋅ 1  

Logo,

x = a   ou x = - 1

Fatorando:

x 2 + 1 - a x - a = x - a x + 1

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:

L = lim x → a ⁡ x - a x + 1 x - a

Simplificando:

L = lim x → a ⁡ x + 1

Pra finalizar, basta fazermos x = a :

L = a + 1

Resposta

L = a + 1

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