Calcule o limite.

underset(t -> 0)(lim) (sqrt(25 + 3 t) - 5)/(t)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 0 . Então vamos lá!

L = (sqrt(25 + 3 * 0) - 5)/(0)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo sqrt(25 + 3 t) - 5 a ideia será multiplicar pelo conjugado em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de sqrt(25 + 3 t) - 5 será:

sqrt(25 + 3 t) + 5

Assim,

L = underset(t -> 0)(lim) (sqrt(25 + 3 t) - 5)/(t) * (sqrt(25 + 3 t) + 5)/(sqrt(25 + 3 t) + 5)

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(t -> 0)(lim) ((sqrt(25 + 3 t))^2 - 5^2)/(t (sqrt(25 + 3 t) + 5))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(t -> 0)(lim) (25 + 3 t - 25)/(t (sqrt(25 + 3 t) + 5))

Logo,

L = underset(t -> 0)(lim) (3 t)/(t (sqrt(25 + 3 t) + 5))

Passo 3

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o t . Assim,

L = underset(t -> 0)(lim) (3)/(sqrt(25 + 3 t) + 5)

Agora basta fazermos t = 0 e correr pro abraço. Assim,

L = (3)/(sqrt(25 + 3 * 0) + 5) -> L = (3)/(10)

Resposta

L = (3)/(10)

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