Calcule o limite.

lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 - 1

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 1 . Então vamos lá!

L = 1 3 - 1 1 4 - 1

Assim,

L = 0 0

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo x 3 - 1 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m 3 - n 3 = m - n m 2 + m n + n 2

Como só temos o termo m - n onde m = x 3 e n = a 3 , vamos ter que multiplicar por a 2 + a b + b 2 . E para o termo x 4 - 1 vamos usar a estratégia do conjugado.

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior!

L = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 - 1

Agora vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

x 3 2 + x 3 ⋅ 1 + 1 2

Assim,

L = lim x → 1 ⁡ x 3 - 1 x 4 - 1 × x 3 2 + x 3 ⋅ 1 + 1 2 x 3 2 + x 3 ⋅ 1 + 1 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → 1 ⁡ x 3 3 - 1 3 x 4 - 1 x 2 3 + x 3 + 1

Elevando os termos ao cubo:

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 - 1 x 2 3 + x 3 + 1

Passo 3

Agora nossa estratégia será multiplicar pelo conjugado de x 4 - 1 em cima e embaixo.

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 - 1 x 2 3 + x 3 + 1 × x 4 + 1 x 4 + 1

Logo,

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1 x 4 - 1 x 4 + 1

Agora repare que no denominador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1 x - 1

Aplicando novamente a estratégia do conjugado, mas agora para o temo x - 1 :

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 + 1 x 2 3 + x 3 + 1 x - 1 × x + 1 x + 1

Como apareceu novamente a expressão da forma a - b a + b :

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 + 1 x + 1 x 2 3 + x 3 + 1 x 2   - 1 2

Dessa forma,

L = lim x → 1 ⁡ x - 1 x 4 + 1 x + 1 x 2 3 + x 3 + 1 x - 1

Passo 4

Pra finalizar, vamos cortar o termo x - 1 e calcular o limite!

L = lim x → 1 ⁡ x 4 + 1 x + 1 x 2 3 + x 3 + 1

Agora basta fazer x = 1 e correr pro abraço. Assim,

L = 1 + 1 1 + 1 1 + 1 + 1

Portanto,

L = 4 3

Resposta

L = 4 3

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