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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 24

Calcule o limite.

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x) - 1)/(root(4)(x) - 1)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 1 . Então vamos lá!

L = (root(3)(1) - 1)/(root(4)(1) - 1)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo root(3)(x) - 1 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m^3 - n^3 = (m - n) (m^2 + m n + n^2)

Como só temos o termo m - n onde m = root(3)(x) e n = root(3)(a) , vamos ter que multiplicar por (a^2 + a b + b^2) . E para o termo root(4)(x) - 1 vamos usar a estratégia do conjugado.

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior!

L = underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x) - 1)/(root(4)(x) - 1)

Agora vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

(root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * 1 + 1^2

Assim,

L = underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x) - 1)/(root(4)(x) - 1) xx ((root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * 1 + 1^2)/((root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * 1 + 1^2)

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> 1)(lim) ((root(3)(x))^3 - 1^3)/((root(4)(x) - 1) (root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1))

Elevando os termos ao cubo:

L = underset(x -> 1)(lim) (x - 1)/((root(4)(x) - 1) (root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1))

Passo 3

Agora nossa estratégia será multiplicar pelo conjugado de root(4)(x) - 1 em cima e embaixo.

L = underset(x -> 1)(lim) (x - 1)/((root(4)(x) - 1) (root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1)) xx (root(4)(x) + 1)/(root(4)(x) + 1)

Logo,

L = underset(x -> 1)(lim) ((x - 1) (root(4)(x) + 1))/((root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1) (root(4)(x) - 1) (root(4)(x) + 1))

Agora repare que no denominador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> 1)(lim) ((x - 1) (root(4)(x) + 1))/((root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1) (sqrt(x) - 1))

Aplicando novamente a estratégia do conjugado, mas agora para o temo sqrt(x) - 1 :

L = underset(x -> 1)(lim) ((x - 1) (root(4)(x) + 1))/((root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1) (sqrt(x) - 1)) xx (sqrt(x) + 1)/(sqrt(x) + 1)

Como apareceu novamente a expressão da forma (a - b) (a + b) :

L = underset(x -> 1)(lim) ((x - 1) (root(4)(x) + 1) (sqrt(x) + 1))/((root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1) ((sqrt(x))^2 - 1^2))

Dessa forma,

L = underset(x -> 1)(lim) ((x - 1) (root(4)(x) + 1) (sqrt(x) + 1))/((root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1) (x - 1))

Passo 4

Pra finalizar, vamos cortar o termo (x - 1) e calcular o limite!

L = underset(x -> 1)(lim) ((root(4)(x) + 1) (sqrt(x) + 1))/(root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1)

Agora basta fazer x = 1 e correr pro abraço. Assim,

L = ((1 + 1) (1 + 1))/(1 + 1 + 1)

Portanto,

L = (4)/(3)

Resposta

L = (4)/(3)

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