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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 22

Calcule o limite.

underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x^2 + a^2) - a)/(sqrt(x^2 + b^2) - b) , a , b > 0 .

Passo 1

Inicialmente, vamos fazer x = 0 para ver se já conseguimos achar o limite.

L = (sqrt(0^2 + a^2) - a)/(sqrt(0^2 + b^2) - b)

Como a e b são positivos:

L = (a - a)/(b - b) -> L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Como temos o termo sqrt(x^2 + a^2) - a e sqrt(x^2 + b^2) - b a ideia será multiplicar pelo conjugado de ambos em cima e em baixo. Se não lembra, vem comigo!

Passo 2

O conjugado de sqrt(x^2 + a^2) - a será:

sqrt(x^2 + a^2) + a

E para sqrt(x^2 + b^2) - b o conjugado será:

sqrt(x^2 + b^2) + b

Assim,

L = underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x^2 + a^2) - a)/(sqrt(x^2 + b^2) - b) * (sqrt(x^2 + a^2) + a)/(sqrt(x^2 + a^2) + a)

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> 0)(lim) ((sqrt(x^2 + a^2))^2 - a^2)/((sqrt(x^2 + b^2) - b) (sqrt(x^2 + a^2) + a))

Elevando os termos ao quadrado:

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2 + a^2 - a^2)/((sqrt(x^2 + b^2) - b) (sqrt(x^2 + a^2) + a))

Logo,

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2)/((sqrt(x^2 + b^2) - b) (sqrt(x^2 + a^2) + a))

Com isso, resolvemos um dos problemas, mas o limite ainda dará 0 // 0 . Então agora vamos aplicar o mesmo processo para o (sqrt(x^2 + b^2) - b) .

Passo 3

Multiplicando pelo conjugado em cima e embaixo:

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2)/((sqrt(x^2 + b^2) - b) (sqrt(x^2 + a^2) + a)) * ((sqrt(x^2 + b^2) + b))/((sqrt(x^2 + b^2) + b))

Logo,

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2 (sqrt(x^2 + b^2) + b))/(((sqrt(x^2 + b^2))^2 - b^2) (sqrt(x^2 + a^2) + a))

Arrumando o denominador:

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2 (sqrt(x^2 + b^2) + b))/((x^2 + b^2 - b^2) (sqrt(x^2 + a^2) + a))

Isto é,

L = underset(x -> 0)(lim) (x^2 (sqrt(x^2 + b^2) + b))/((x^2) (sqrt(x^2 + a^2) + a))

Passo 4

Pra fechar com chave de ouro é só cortar o x^2 . Assim,

L = underset(x -> 0)(lim) (sqrt(x^2 + b^2) + b)/(sqrt(x^2 + a^2) + a)

Agora basta fazer x = 0 e correr pro abraço.

L = (b + b)/(a + a) -> L = (b)/(a)

Resposta

L = (b)/(a)

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