Calcule o limite.

underset(x -> 1)(lim) (root(3)(x^2) - 2 root(3)(x) + 1)/((x - 1)^2)

Passo 1

A primeira coisa que podemos tentar é substituir o 1 . Então vamos lá!

L = (root(3)(1^2) - 2 root(3)(1) + 1)/((1 - 1)^2)

Assim,

L = (0)/(0)

Opa, como chegamos numa indeterminação temos que dar uma mexida na expressão para tirar essa indeterminação. Repare que o numerador parece familiar, olha só:

(a + 1)^2 = a^2 + 2 a + 1

Mas nesse caso o a = root(3)(x) . Então nosso limite ficara o seguinte:

L = underset(x -> 1)(lim) ((root(3)(x) - 1)^2)/((x - 1)^2) = underset(x -> 1)(lim) ((root(3)(x) - 1)/(x - 1))^2

Então vamos olhar para seguinte expressão:

E = (root(3)(x) - 1)/(x - 1)

A ideia aqui não será muito simples, mas ta vendo o termo root(3)(x) - 1 como temos uma raiz cubica, seria bom se conseguíssemos elevar ao cubo para eliminar a raiz. Para isso, vamos usar a seguinte fatoração:

m^3 - n^3 = (m - n) (m^2 + m n + n^2)

Como só temos o termo m - n onde m = root(3)(x) e n = 1 , vamos ter que multiplicar por (a^2 + a b + b^2) .

Passo 2

Agora vamos usar a dica do Passo anterior vamos multiplicar em cima e embaixo pelo seguinte:

(root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * 1 + 1^2

Assim,

E = (root(3)(x) - 1)/((x - 1)) xx ((root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * 1 + 1^2)/((root(3)(x))^2 + (root(3)(x)) * 1 + 1^2)

Juntando tudo numa fração só e usando que m^3 - n^3 = (m - n) (m^2 + m n + n^2) :

E = ((root(3)(x))^3 - 1^3)/((x - 1) (root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1))

Elevando os termos ao cubo:

E = ((x - 1))/((x - 1)^2 (root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1))

Simplificando:

E = (1)/((x - 1) (root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1))

Passo 3

Pra finalizar vamos voltar para o limite. Antes tínhamos o seguinte:

L = underset(x -> 1)(lim) ((root(3)(x) - 1)/(x - 1))^2

Do Passo 2:

(root(3)(x) - 1)/(x - 1) = (1)/(root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1)

Substituindo na expressão do limite:

L = underset(x -> 1)(lim) ((1)/(root(3)(x^2) + root(3)(x) + 1))^2

Agora basta fazer x = 1 e correr pro abraço. Assim,

L = ((1)/(root(3)(1^2) + root(3)(1) + 1))^2

Portanto,

L = (1)/(3^2) -> L = (1)/(9)

Resposta

L = (1)/(9)

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