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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.13 - Ex. 16

Calcule o limite.

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1)

Passo 1

Como temos um limite onde nossa função possui termos polinomiais e x -> + oo , a estratégia será colocar o termo de maior grau em evidencia. Vamos lá!

L = underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x^2 + 1))/(x + 1)

No numerador, podemos colocar em evidencia o x^2 dentro da raiz, e no denominador o x . Assim,

L = underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x^2 (1 + (1)/(x^2))))/(x (1 + (1)/(x)))

Como x -> oo , estamos com valores positivos de x . Então podemos tirar o x^2 da raiz mantendo o sinal.

L = underset(x -> + oo)(lim) (x sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(x (1 + (1)/(x)))

Simplificando:

L = underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(1 + (1)/(x))

Passo 2

Pra facilitar nossa vida, podemos escrever da seguinte forma:

L = (underset(x -> + oo)(l i m) sqrt(1 + (1)/(x^2)))/(underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(x)))

Repare que no denominador basta calcular o limite do que está dentro da raiz. Assim,

L = (sqrt(underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(x^2))))/(underset(x -> + oo)(l i m) (1 + (1)/(x)))

Quando x -> + oo :

L = (sqrt(1 + (1)/(oo)))/(1 + (1)/(oo))

Isto é,

L = (sqrt(1 + 0))/(1 + 0)

Portanto,

L = 1

Resposta

L = 1

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9-Sejam f e g duas funções definidas em ] a ,+ ∞ [ tais que lim x → + ∞ ⁡ f x g x = + ∞ e g x0 para todo xa . Prove que existem r0 tal que para todo xr ,f xg x .
Dê exemplo de funções f e g tais que lim x → p + ⁡ f x = L , L ≠ 0 , lim x → p + ⁡ g x = 0 mas lim x → p + ⁡ f x g x não existe.
Dê exemplo de funções f e g tais que lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞ , lim x → + ∞ ⁡ g x = + ∞ e lim x → + ∞ ⁡ f x - g x ≠ 0 .