Calcule o limite.

lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x

Passo 1

Inicialmente, podemos tentar calcular o limite fazendo x = ∞ . Assim,

L = x ∞ 2 - 1 - x

Logo,

L = ∞ × ∞ - ∞

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que mexer na nossa expressão.

Passo 2

Repare que o nosso limite e a subtração de duas raízes, então podemos lembrar daquela ideia de multiplicar em cima e embaixo por um fator para aparecer a diferença de quadrados, se você não lembra é só vir comigo!

L = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x

Se multiplicarmos em cima e embaixo por: x 2 - 1 + x , vamos ter o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x × x 2 - 1 + x x 2 - 1 + x

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x x 2 - 1 + x x 2 - 1 + x

Agora repare que no numerador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 2 - x 2 x 2 - 1 + x

Passo 3

Organizando nossa expressão:

L = lim x → + ∞ ⁡ x x 2 - 1 - x 2 x 2 - 1 + x

Simplificando:

L = lim x → + ∞ ⁡ - x x 2 - 1 + x

Se fizermos x = ∞ :

L = ∞ ∞

Como ainda estamos numa indeterminação, então vamos colocar x 2 em evidencia dentro da raiz no denominador:

L = lim x → + ∞ ⁡ - x x 2 1 - 1 x 2 + x

Como estamos x → ∞ , isto é, valores positivos de x , podemos tira-lo da raiz mantendo o sinal. Logo,

L = lim x → + ∞ ⁡ - x x 1 - 1 x 2 + x

Cortando o x :

L = lim x → + ∞ ⁡ - 1 1 - 1 x 2 + 1

Quando x → ∞ :

L = - 1 l i m x → + ∞ 1 - 1 x 2 + 1

Isto é,

L = - 1 1 - 1 ∞ + 1 → L = - 1 1 + 1

Portanto,

L = - 1 2

Ufa, essa deu trabalho em!

Resposta

L = - 1 2

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