Calcule o limite.

lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 - 2 x

Passo 1

Inicialmente, podemos tentar calcular o limite fazendo x = ∞ . Assim,

L = 16 ⋅ ∞ + 15 ⋅ ∞ - 2 ⋅ ∞ + 1 - 2 ⋅ ∞

Logo,

L = ∞ - ∞

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que mexer na nossa expressão.

Passo 2

Repare que o nosso limite e a subtração de duas raízes, então podemos lembrar daquela ideia de multiplicar em cima e embaixo por um fator para aparecer a diferença de quadrados, se você não lembra é só vir comigo!

L = lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 - 2 x

Se multiplicarmos em cima e embaixo por: 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x vamos ter o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 - 2 x × 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x

Assim,

L = lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 - 2 x × 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x

Agora repare que no denominador apareceu uma expressão do tipo:

a - b a + b

E essa expressão é conhecida!

a - b a + b = a 2 - b 2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 2 - 2 x 2 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x

Passo 3

Organizando nossa expressão:

L = lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 - 4 x 2 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x

Simplificando:

L = lim x → + ∞ ⁡ 16 x 4 + 15 x 3 - 4 x 2 - 2 x + 1 16 x 4 + 15 x 3 - 2 x + 1 + 2 x

Se fizermos x = ∞ :

L = ∞ ∞

Como ainda estamos numa indeterminação, então vamos colocar x 4 em evidencia dentro da raiz no denominador e no numerador:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 4 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 x 4 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 + 2 x

Como estamos fazendo x ir para + ∞ , estamos com valores positivos de x , então podemos jogar ele pra fora da raiz com o mesmo sinal. Logo,

L = lim x → + ∞ ⁡ x 4 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 x 2 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 + 2 x

Simplificando:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 3 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 x 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 + 2

Colocando x em evidencia no denominador:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 3 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 x 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 + 2 x

Simplificando:

L = lim x → + ∞ ⁡ x 2 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 + 2 x

Passo 4

Pra finalizar, podemos escrever o limite da seguinte maneira:

L = l i m x → + ∞ x 2 × l i m x → + ∞ 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 l i m x → + ∞ 16 + 15 x - 4 x 2 - 2 x 3 + 1 x 4 + 2 x

Assim,

L = ∞ 2 × 16 + 15 ∞ - 4 ∞ 2 - 2 ∞ 3 + 1 ∞ 4 16 + 15 ∞ - 4 ∞ 2 - 2 ∞ 3 + 1 ∞ 4 + 2 ∞

Isto é,

= ∞ × 1 6 + 0 - 0 - 0 + 0 16 + 0 - 0 - 0 + 0 + 0 = ∞ 4

Portanto,

L = ∞

Resposta

L = ∞

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