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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.13 - Ex. 26

Calcule o limite.

underset(x -> + oo)(lim) sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) - 2 x

Passo 1

Inicialmente, podemos tentar calcular o limite fazendo x = oo . Assim,

L = sqrt(16 * oo + 15 * oo - 2 * oo + 1) - 2 * oo

Logo,

L = oo - oo

Como chegamos numa indeterminação, vamos ter que mexer na nossa expressão.

Passo 2

Repare que o nosso limite e a subtração de duas raízes, então podemos lembrar daquela ideia de multiplicar em cima e embaixo por um fator para aparecer a diferença de quadrados, se você não lembra é só vir comigo!

L = underset(x -> + oo)(lim) sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) - 2 x

Se multiplicarmos em cima e embaixo por: sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x vamos ter o seguinte:

L = underset(x -> + oo)(lim) sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) - 2 x xx (sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x)/(sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x)

Assim,

L = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) - 2 x) xx (sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x))/(sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x)

Agora repare que no denominador apareceu uma expressão do tipo:

(a - b) (a + b)

E essa expressão é conhecida!

(a - b) (a + b) = a^2 - b^2

Assim, nosso limite vai ficar o seguinte:

L = underset(x -> + oo)(lim) ((sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1))^2 - (2 x)^2)/(sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x)

Passo 3

Organizando nossa expressão:

L = underset(x -> + oo)(lim) ((16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) - 4 x^2)/(sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x)

Simplificando:

L = underset(x -> + oo)(lim) (16 x^4 + 15 x^3 - 4 x^2 - 2 x + 1)/(sqrt(16 x^4 + 15 x^3 - 2 x + 1) + 2 x)

Se fizermos x = oo :

L = (oo)/(oo)

Como ainda estamos numa indeterminação, então vamos colocar x^4 em evidencia dentro da raiz no denominador e no numerador:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x^4 (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(sqrt(x^4 (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4))) + 2 x)

Como estamos fazendo x ir para + oo , estamos com valores positivos de x , então podemos jogar ele pra fora da raiz com o mesmo sinal. Logo,

L = underset(x -> + oo)(lim) (x^4 (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(x^2 sqrt(16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)) + 2 x)

Simplificando:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x^3 (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(x sqrt(16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)) + 2)

Colocando x em evidencia no denominador:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x^3 (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(x (sqrt(16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)) + (2)/(x)))

Simplificando:

L = underset(x -> + oo)(lim) (x^2 (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(sqrt(16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)) + (2)/(x))

Passo 4

Pra finalizar, podemos escrever o limite da seguinte maneira:

L = (underset(x -> + oo)(l i m) x^2 xx underset(x -> + oo)(l i m) (16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)))/(underset(x -> + oo)(l i m) (sqrt(16 + (15)/(x) - (4)/(x^2) - (2)/(x^3) + (1)/(x^4)) + (2)/(x)))

Assim,

L = (oo^2 xx (16 + (15)/(oo) - (4)/(oo^2) - (2)/(oo^3) + (1)/(oo^4)))/(sqrt(16 + (15)/(oo) - (4)/(oo^2) - (2)/(oo^3) + (1)/(oo^4)) + (2)/(oo))

Isto é,

= (oo xx (1 6 + 0 - 0 - 0 + 0))/(sqrt(16 + 0 - 0 - 0 + 0) + 0) = (oo)/(4)

Portanto,

L = oo

Resposta

L = oo

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