Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador! Ah, e esse limite funciona igualzinho pra tangente!

lim y → 0 ⁡ t g   y y = 1

Isso vai facilitar nossa vida!

Passo 2

Vamos começar separando esse limite em produto de três limites:

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ t g x + 1 4 x + 1 × t g x + 1 4 x + 1 × t g x + 1 4 x + 1

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ t g x + 1 4 x + 1 × lim x → 0 ⁡ t g x + 1 4 x + 1 × lim x → 0 ⁡ t g x + 1 4 x + 1

Chegamos em:

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ t g x + 1 4 x + 1 3

Esse é quase o limite fundamental com tangente! Falta só ajeitar a constante. Vamos multiplicar por 1 4 em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ 1 4 t g x + 1 4 x + 1 4 3

Prontinho, apareceu!

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = lim x → 0 ⁡ 1 4 t g x + 1 4 x + 1 4 3 = 1 4 lim x → 0 ⁡ t g x + 1 4 x + 1 4 3

Esse é o fundamental!

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = 1 4 3 = 1 64

Show de bola?

Resposta

lim x → 0 ⁡ t g 3 x + 1 4 x + 1 3 = 1 64

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