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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.16 - Ex. 12

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

Vamos começar usando o arco duplo no cosseno:

cos ⁡ x = 1 - 2 s e n 2 x 2

1 - c o s x = 2 s e n 2 x 2

Substituindo lá no limite:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 s e n 2 x 2 x 2

Vamos dar uma arrumada nessa expressão:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 2 lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x 2

Multiplicando por 1 2 em cima e embaixo:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 2 1 2 lim x → 0 ⁡ s e n x 2 x 2 2

Beleza, ali dentro ficou o limite fundamental, que vale 1 .

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 2 1 2 2

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ x x 2 = 1 2

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