Calcule a massa do cubo 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 , cuja densidade no ponto x , y , z é a soma das coordenadas.

Passo 1

Nesse problema iremos calcular a massa do cubo utilizando a integral tripla. Para isso vamos precisar encontrar a densidade do cubo e aplicar os limites.

Passo 2

Bom, vamos começar! Primeiro vamos descobrir qual é a função densidade do cubo. O problema nos diz que ela é dada pela soma das coordenadas, ou seja, δ x , y , z = x + y + z . Temos que a massa é dada pela relação

∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z  

Reduzindo a integral tripla para uma dupla, ficamos com

∫ ∫ K ∫ 0 1 x + y + z ⋅ d z ⋅ d x ⋅ d y = ∫ ∫ K x ⋅ z + y ⋅ z + z 2 2 0 1 ⋅ d x ⋅ d y

Nosso K é 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 . Então

∫ 0 1 ∫ 0 1 x + y + 1 2 ⋅ d x ⋅ d y = 3 2

Resposta

∫ ∫ ∫ B δ x , y , z ⋅ d x ⋅ d y ⋅ d z = 3 2

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