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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2e

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

e) x 2 + y 2 ≤ 4 e x 2 + y 2 + z 2 ≤ 9 .

Passo 1

Nesse problema iremos calcular o volume do conjunto através da integral tripla. Para isso, vamos reduzir o problema de uma integral tripla para dupla, encontrando o novo conjunto K e os intervalos de integração. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o volume é dado pela integral

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = ∫ ∫ K ∫ a b d z ⋅ d x ⋅ d y

Substituindo nossos intervalos, chegamos que

∫ ∫ K ∫ - 9 - x 2 - y 2 9 - x 2 - y 2 d z ⋅ d x ⋅ d y = 2 ⋅ ∫ ∫ K ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d z ⋅ d x ⋅ d y =

= 2 ⋅ ∫ ∫ K 9 - x 2 - y 2 1 2 ⋅ d x ⋅ d y

Com nosso K sendo x 2 + y 2 ≤ 4 . Assim, aplicando uma transformação para coordenadas polares, temos que

x = ρ ⋅ cos ⁡ θ

y = ρ ⋅ sin ⁡ θ

0 ≤ ρ ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 ⋅ π

Com o jacobiano sendo d x ⋅ d y = ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ . Substituindo na integral e resolvendo, chegamos que

2 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 2 9 - ρ 2 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ ⋅ d θ = 2 ⋅ ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 2 9 - ρ 2 1 2 ⋅ ρ ⋅ d ρ =

Aplicando uma mudança de variável, chamando u = 9 - ρ 2 , temos que

= 4 ⋅ π ⋅ ∫ 9 5 - 1 2 ⋅ u 1 2 ⋅ d u = - 2 ⋅ π ⋅ 2 3 ⋅ u 3 2 9 5 = - 4 ⋅ π 3 ⋅ 5 3 2 - 9 3 2 =

= 4 ⋅ π 3 ⋅ - 5 ⋅ 5 + 27 =

Resposta

∫ ∫ ∫ B d x ⋅ d y ⋅ d z = 4 ⋅ π 3 ⋅ - 5 ⋅ 5 + 27

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Calcule a integral tripla.11. ∫ ∫ ∫ E 2 xd V E = x , y , z 0 ≤ y ≤ 2 ,0 ≤ x ≤ 4 - y 2 ,0 ≤ z ≤ y }
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