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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.7 - Ex. 5

(Teorema de Steiner ou dos iexos paralelos). Seja I c m o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo centro de massa de um corpo e I o momento de inércia em relação a um eixo paralelo, a uma distância h . Verifique que I = I c m + M h 2 , onde M é a massa do corpo .

Passo 1

Vamos olhar para o início da nossa seção 5.7 e nos atentar para a seguinte relação

I = ∭ B r 2 d m

Que é definido como nosso momento de inércia, na qual d m = δ x , y , z d x   d y   d z e δ x , y , z é nossa densidade volumétrica. Assim agora precisamos só aplicarmos nossa equação. Claro que estou aqui para ajuda-los ...

Passo 2

Vamos tomar que estejamos a uma distância h do nosso centro de massa, assim temos que r que é a distância entre qualquer ponto e o eixo que estamos calculando o momento de inércia, se transforma em h ± r dependendo de onde nosso ponto de encontra. Assim teremos que

h ± r 2 = h 2 + r 2 ± 2 h r

Desta forma nossa integral se transforma da seguinte maneira

I = ∭ B h ± r 2 d m = ∭ B r 2   d m + h 2 ∭ B d m + 2 h ∭ B r   d m

Os dois primeiros termos são exatamente o que estamos procurando. Já o ultimo termo temos que é a integral com relação ao centro de massa. Visto que nossa função é impar, temos que integrando no nosso intervalo “simétrico”, a integral é nula. Assim ficamos com

I = ∭ B h ± r 2 d m = ∭ B r 2   d m + h 2 ∭ B d m = I c m + h 2 M

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcular o momento de inércia do hemisfério x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 ,x ≥ 0 em relação ao eixo y . A densidade no ponto P ( x , y , z ) é proporcional à distância de P ao plano y z .