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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 2.1 - Ex. 1a

  1. Calcule
    1. int_0^2 f (x) d x onde f (x) = {[[2 s e 0 <= x < 1],[(1)/(x) s e 1 <= x <= 2]])

Passo 1

Como f ( x ) é limita no intervalo [ 0,2 ] e descontínua apenas no ponto x = 1 , f ( x ) é integrável nesse intervalo. Agora vamos integrar nos intervalos contínuos e juntar isso. Olha só:

int_0^2 f (x) d x = int_0^1 f (x) d x + int_1^2 f (x) d x

Sacou?!

Passo 2

No intervalo [ 0,1 [ :

f (x) = 2

Logo,

I_1 = int_0^1 2 d x

Tirando o 2 da integral e resolvendo:

I_1 = 2 int_0^1 d x -> I_1 = 2 x |_0^1

Portanto,

I_1 = 2 xx (1 - 0) -> I_1 = 2

Passo 3

No intervalo [ 1,2 [ :

f (x) = (1)/(x)

Assim,

I_2 = int_1^2 (1)/(x) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln | x | + c

I_2 = ln |x| (​|_1^2

Aplicando entre os pontos 1 e 2 :

I_2 = ln (2) - ln (1) = ln (2)

Passo 4

Juntando tudo, temos:

int_0^2 f (x) d x = I_1 + I_2

Substituindo os valores:

int_0^2 f (x) d x = 2 + ln (2)

Resposta

int_0^2 f (x) d x = 2 + ln (2)

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