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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 17

Verifique que a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x transforma a equação

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0

Em,

∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v = 0

Passo 1

Inicialmente obter a cara de cada derivada que precisamos para resolver nosso problema, ou seja, precisamos calcular

∂ 2 z u , v ∂ x 2 , ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y , ∂ 2 z x , y ∂ y 2

Dessa maneira,

∂ z u , v ∂ x = ∂ z ( u , v ) ∂ u . ∂ u ∂ x + ∂ z ( u , v ) ∂ v . ∂ v ∂ x

= ∂ z ( u , v ) ∂ u . 1 + ∂ z ( u , v ) ∂ v . 2

= ∂ z ( u , v ) ∂ u + 2 ∂ z ( u , v ) ∂ v

Assim,

∂ 2 z u , v ∂ x 2 = ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d x   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d x + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d x + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d x  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d x   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d x + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d x + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d x  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 ( 1 )   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u ( 2 ) + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v ( 1 ) + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 ( 2 )  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

Pelo Teorema de Schwartz

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ v ∂ u + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

Passo 2

Calculando

∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y

Teremos,

∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y = ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d y   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d y + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d y + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d y  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 ( 1 )   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u ( 1 ) + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v ( 1 ) + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 ( 1 )  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

Pelo Teorema de Schwartz

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 3 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

Passo 3

Calculando

∂ 2 z x , y ∂ y 2

Inicialmente teremos,

∂ z u , v ∂ y = ∂ z ( u , v ) ∂ u . ∂ u ∂ y + ∂ z ( u , v ) ∂ v . ∂ v ∂ y

= ∂ z ( u , v ) ∂ u . 1 + ∂ z ( u , v ) ∂ v . 1

= ∂ z ( u , v ) ∂ u + ∂ z ( u , v ) ∂ v

Assim,

∂ 2 z x , y ∂ y 2 = ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d y   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d y + ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d y + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d y  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 ( 1 )   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u ( 1 ) + ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v ( 1 ) + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 ( 1 )  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

Pelo Teorema de Schwartz

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z u , v ∂ v ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ v 2

Portanto,

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0

⇒ ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

- 3 ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 3 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

2 ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 = 0

⇒ 3 ∂ 2 z u , v ∂ u 2 + 8 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 6 ∂ 2 z x , y ∂ v 2 - 3 ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 9 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 6 ∂ 2 z x , y ∂ v 2 = 0

⇒ - ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u = 0 ⇒ ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u = 0

Logo,

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u

Ou seja, através a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x , transformamos uma equação em outra.

Além disso, note que para solucionarmos a equação

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z u , v ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z u , v ∂ y 2 = 0

Tenha solução é necessário que z u , v = c onde c   é constante, isso é necessário, pois independentemente de derivarmos em relação a u ou a v , a primeira derivada será zero e consequentemente a segunda também será.

Resposta

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u

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