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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.2 - Ex. 17

Verifique que a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x transforma a equação

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0

Em,

∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v = 0

Passo 1

Inicialmente obter a cara de cada derivada que precisamos para resolver nosso problema, ou seja, precisamos calcular

∂ 2 z u , v ∂ x 2 , ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y , ∂ 2 z x , y ∂ y 2

Dessa maneira,

∂ z u , v ∂ x = ∂ z ( u , v ) ∂ u . ∂ u ∂ x + ∂ z ( u , v ) ∂ v . ∂ v ∂ x

= ∂ z ( u , v ) ∂ u . 1 + ∂ z ( u , v ) ∂ v . 2

= ∂ z ( u , v ) ∂ u + 2 ∂ z ( u , v ) ∂ v

Assim,

∂ 2 z u , v ∂ x 2 = ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d x   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d x + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d x + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d x  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d x   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d x + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d x + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d x  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 ( 1 )   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u ( 2 ) + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v ( 1 ) + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 ( 2 )  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

Pelo Teorema de Schwartz

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ v ∂ u + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

Passo 2

Calculando

∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y

Teremos,

∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y = ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d y   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d y + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d y + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d y  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 ( 1 )   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u ( 1 ) + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v ( 1 ) + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 ( 1 )  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

Pelo Teorema de Schwartz

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z u , v ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 3 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

Passo 3

Calculando

∂ 2 z x , y ∂ y 2

Inicialmente teremos,

∂ z u , v ∂ y = ∂ z ( u , v ) ∂ u . ∂ u ∂ y + ∂ z ( u , v ) ∂ v . ∂ v ∂ y

= ∂ z ( u , v ) ∂ u . 1 + ∂ z ( u , v ) ∂ v . 1

= ∂ z ( u , v ) ∂ u + ∂ z ( u , v ) ∂ v

Assim,

∂ 2 z x , y ∂ y 2 = ∂ 2 z u , v ∂ u 2 d u d y   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u d v d y + ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v d u d y + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 d v d y  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2 ( 1 )   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u ( 1 ) + ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v ( 1 ) + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 ( 1 )  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z u , v ∂ u ∂ v + ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

Pelo Teorema de Schwartz

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z u , v ∂ v ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ v 2  

= ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ v 2

Portanto,

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = 0

⇒ ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 4 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

- 3 ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 3 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v 2

2 ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 2 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + ∂ 2 z x , y ∂ v 2 = 0

⇒ 3 ∂ 2 z u , v ∂ u 2 + 8 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 6 ∂ 2 z x , y ∂ v 2 - 3 ∂ 2 z u , v ∂ u 2   + 9 ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u + 6 ∂ 2 z x , y ∂ v 2 = 0

⇒ - ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u = 0 ⇒ ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u = 0

Logo,

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u

Ou seja, através a mudança de variáveis u = x + y , v = y + 2 x , transformamos uma equação em outra.

Além disso, note que para solucionarmos a equação

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z u , v ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z u , v ∂ y 2 = 0

Tenha solução é necessário que z u , v = c onde c   é constante, isso é necessário, pois independentemente de derivarmos em relação a u ou a v , a primeira derivada será zero e consequentemente a segunda também será.

Resposta

∂ 2 z u , v ∂ x 2 - 3 ∂ 2 z x , y ∂ x ∂ y + 2 ∂ 2 z x , y ∂ y 2 = ∂ 2 z x , y ∂ v ∂ u

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1. Expresse g ' ( t ) em termos de derivadas parciais de f , sendo g dada porc) g t = ∂ f ∂ x t 2 , 2 t + 5 ∂ f ∂ y ( s e n3 t ,t ) .
10. Suponha que f ( x , y ) satisfaça a equação ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ 2 f ∂ t 2. (i)a) Verifique que g u , v = f x , t , onde x = u + v e t = u - v satisfaz a equação ∂ 2 g ∂ v∂ u = 0 . b) Detetermine uma c
8. Seja v r , θ = u ( x , y ) , onde x = r cos ⁡ θey = rs e nθ . Verifique que ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 = ∂ 2 v ∂ r 2 + 1 r ∂ v ∂ r + 1 r 2 ∂ 2 v ∂ θ 2 .
3. Considere a função g t = f a + h t , b + k t , com a ,b ,h e k constantes.b) Supondo f ( x , y ) de classe C 3 num aberto deR 2 , verifique que g ' ' ' t = h 3 ∂ 3 f ∂ x 3 x , y + 3 h 2 k ∂ 3 f ∂ x
9. Sejam f x , y de Classe C 2 num aberto R 2 , g x derivável até a 2ª ordem num intervalo aberto I e tais que, para to x ∈ I ,f x , g x = 0 (isto é, y = g ( x ) é dada implicitamente pela equação f x