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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4b

Calcule o volume do conjunto dado.

  1. { (x , y , z) in R^3 | 0 <= x <= 2 , 1 <= y <= 2 , 0 <= z <= sqrt(x y) }

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = int_1^2 int_0^2 int_0^(sqrt(x y)) d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z ...

V = int_1^2 int_0^2 sqrt(x y) d x d y

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Integrando em x primeiro...

V = int_1^2 [(2)/(3) (x y)^((3)/(2))]_0^2 d y

V = int_1^2 (2)/(3) (2 y)^(3 // 2) d y

Integramos em y agora...

V = (2)/(3) int_1^2 (2 y)^((3)/(2)) d y

Jogando o (2)^((3)/(2)) para fora da integral e ajustando, ficaremos com:

V = (4 sqrt(2))/(3) int_1^2 (y)^((3)/(2)) d y

V = (4 sqrt(2))/(3) [(2 y^(5 // 2))/(5)]_1^2

V = (4 sqrt(2))/(3) [(8 sqrt(2))/(5) - (2)/(5)]

V = ((64)/(15) - (8 sqrt(2))/(15))

Prontinho! Volume encontrado😉

Resposta

(64)/(15) - (8 sqrt(2))/(15)

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Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Nos Exercícios 67 e 68, esboce a região de integração e o sólido cujo volume seja dado pela integral dupla.
Encontre o volume da região delimitada superiormente pela superfície z = 4 – y2 e inferiormente pelo retângulo R: 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2.
Encontre o volume da região delimitada superiormente pelo plano z = 2 – x – y e inferiormente pelo quadrado R: 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1
Encontre o volume da região delimitada superiormente peloplano z = y/2 e inferiormente pelo retângulo R: 0 ≤ x ≤ 4,0 ≤ y ≤ 2.