Calcule o volume do conjunto dado.

  1. {x, y, z} ∈ R^3 | 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ raiz(xy)

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = ∫ 1 2 ∫ 0 2 ∫ 0 x y d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z :

V = ∫ 1 2 ∫ 0 2 x y   d x d y

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Integrando em x primeiro...

y ∫ 0 2 x 1 2 d x = y ⋅ 2 3 x 3 2 0 2

y ∫ 0 2 x 1 2 d x = y ⋅ 2 3 2 3 2

y ∫ 0 2 x 1 2 d x = 4 3 y 2

Agora integramos em relação a y :

V = 4 3 2 ∫ 1 2 y d y

V = 4 3 2 2 3 ⋅ y 3 2 1 2

V = 8 9 2 2 3 2 - 1 3 2

V = 8 9 2 2 2 - 1

V = 32 - 8 2 9

Prontinho! Volume encontrado😉

Resposta

V = 32 - 8 2 9

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