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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 4.7 - Ex. 6

Influências externas produzem uma aceleração numa partícula de tal forma que a equação de seu movimento retilíneo é y = b t + c t , onde y é o deslocamento de t , o tempo.

  1. Qual a velocidade da partícula no instante t = 2 ?
  2. Qual é a equação da aceleração?

Passo 1

  1. Para achar a velocidade da partícula no instante t = 2 vamos derivar a equação do movimento retilíneo e aplicar nesse instante:

    2. v t = lim ∆ t → 0 ⁡ s t + ∆ t - s t ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ b t + ∆ t + c t + ∆ t - b t + c t ∆ t =

    = lim ∆ t → 0 ⁡ b t + ∆ t + c t + c ∆ t - b t - c t ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ b t + ∆ t + c ∆ t - b t ∆ t =

    = lim ∆ t → 0 ⁡ b t + c ∆ t t + ∆ t t - b t + ∆ t t + ∆ t t 1 ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ b t + c t 2 ∆ t + c ∆ t 2 t 2 - b t - b ∆ t t 2 + t ∆ t 1 ∆ t =

    = lim ∆ t → 0 ⁡ c t 2 ∆ t + c ∆ t 2 t 2 - b ∆ t t 2 + t ∆ t 1 ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ c t 2 + c t 2 ∆ t - b t 2 + t ∆ t = c t 2 + c t 2 ⋅ 0 - b t 2 + t ⋅ 0 =

    = c t 2 - b t 2 = c - b t 2

    Agora aplicando ao ponto:

    v 2 = c - b 2 2 = c - b 4

    Passo 2

  2. Para determinar a aceleração vamos derivar v t :

a t = lim ∆ t → 0 ⁡ v t + ∆ t - v t ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ c - b t + ∆ t 2 - c - b t 2 ∆ t =

= lim ∆ t → 0 ⁡ c - b t + ∆ t 2 - c + b t 2 1 ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ - b t + ∆ t 2 + b t 2 1 ∆ t =

= lim ∆ t → 0 ⁡ - b t 2 + b t + ∆ t 2 t 2 t + ∆ t 2 1 ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ - b t 2 + b t 2 + 2 t ∆ t + ∆ t 2 t 2 t + ∆ t 2 1 ∆ t =

= lim ∆ t → 0 ⁡ - b t 2 + b t 2 + 2 t b ∆ t + b ∆ t 2 t 2 t + ∆ t 2 1 ∆ t = lim ∆ t → 0 ⁡ 2 t b ∆ t + b ∆ t 2 t 2 t + ∆ t 2 1 ∆ t =

= lim ∆ t → 0 ⁡ 2 t b + b ∆ t t 2 t + ∆ t 2 = 2 t b + b ⋅ 0 t 2 t + 0 2 = 2 t b t 2 t 2 = 2 b t 3

Resposta

  1. v 2 = c - b 4
  2. a t = 2 b t 3
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