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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.6 - Ex. 7c

Calcule, usando mudança polar, as seguintes integrais:

∫ ∫ D x 2 y   d x d y , onde D = { ( x , y ) ∈ R 2 | x - 1 2 + y 2 ≤ 1 }

Passo 1

Bom galera, vamos começar mudando as variáveis na integral dupla para cordenadas polares, para mudança de variável temos essa formulinha:

∫ ∫ D f x , y d x d y

= ∫ ∫ Q f x u , v , y r , θ ∂ x , y ∂ r , θ   d r d θ

Onde temos que:

r 2 = x 2 + y 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Passo 2

Belezinha, a gente precisa calcular o determinante jacobiano:

∂ x , y ∂ r , θ = det ⁡ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Então, colocamos os valores:

det ⁡ cos ⁡ θ - r sin ⁡ θ sin ⁡ θ r cos ⁡ θ = r

Passo 3

Show de bolinhas, então podemos montar nossa integral com a nova váriavel:

A = ∫ ∫ Q ( x 2 y ) ⋅ r d r d θ

Agora substituímos as variáveis:

A = ∫ ∫ Q ( r 2 cos 2 ⁡ θ ⋅ r sin ⁡ θ ) ⋅ r   d r d θ

= ∫ ∫ Q r 4 cos 2 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ   d r d θ

Passo 4

Então, delimitamos nossa região.

Onde nossa região D é delimitada por:

x - 1 2 + y 2 ≤ 1

E a gente tem as equações:

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Então nossa região em Q fica:

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

Passo 5

Por fim, montamos as integrais e calculamos:

A = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r 4 cos 2 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d r d θ

Integramos a primeira vez:

A = ∫ 0 2 π r 5 5 cos 2 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ 0 2 cos ⁡ θ d θ

= 32 5 ∫ 0 2 π cos 7 ⁡ θ ⋅ sin ⁡ θ d θ

E integramos denovo:

A = 32 5 - cos 8 ⁡ θ 8 π 2 - π 2

A = 32 5 ⋅ - 0 - - 0 8

A = 0

E prontinho. 😊

Resposta

A = 0

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Calcular ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y , sendo R é dada por:a) Círculo centrado na origem de raio a .