Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x c ; y c do centro de massa de D . D = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 1 ; x ≤ y ≤ x + 1 e a densidade f em cada ponto P ∈ D é igual ao produto das coordenadas do ponto P .

Portanto, temos m = 7 12 e as coordenadas do centro de massa são 5 7 ; 9 7 .

Enunciado

Faala comigo BB...Vamos encontrar mais umas massas nesse rolê. Bora:

Sabemos que a massa do sistema vai ser:

E nesse nosso caso, a densidade será dada por:

Os limites de integração já estão dados, então taca-lhe pau nesse carrinho:

Aplicando os limites:

Vamos abrir o produto notável ali e dar uma ajeitada:

A última integralzinha:

Chegamos em:

Bateu aí? Show demais.

Agora vamos tentar achar as coordenadas do centro de massa desse rolê; fazemos isso da seguinte forma:

Vamos startar pelo ; só acharmos aquela integral:

Bora:

Percebeu que é a mesma coisa do anterior?? Então vamo agilizando:

E então:

E num último passo, a coordenada em :

Tranquilinho né?

Agora deu uma mudada, vamos ver onde isso vai dar:

Repara comigo:

Substituindo isso lá, o desaparece; ficamos com:

E integrando isso daí:

Chegamos em:

E isso é tudo!! Se cuida e até a próxima!

Portanto, temos e as coordenadas do centro de massa são .