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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.8 - Ex. 4

Suponha que uma lâmina com densidade f ocupe a região D   do plano x y . Calcule a massa total m e as coordenadas x c ; y c do centro de massa de D .

D = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 1 ;     x ≤ y ≤ x + 1 e a densidade f em cada ponto P ∈ D é igual ao produto das coordenadas do ponto P .

Passo 1

Faala comigo BB...Vamos encontrar mais umas massas nesse rolê. Bora:

Sabemos que a massa do sistema vai ser:

m = ∬ D f x ; y d x d y

E nesse nosso caso, a densidade será dada por:

f x , y = x y

Os limites de integração já estão dados, então taca-lhe pau nesse carrinho:

m = ∫ 0 1 ∫ x x + 1 x y   d y   d x

m = ∫ 0 1 x y 2 2 d x y = x + 1 y = x

Aplicando os limites:

m = ∫ 0 1 x x + 1 2 - x 2 2 d x

Vamos abrir o produto notável ali e dar uma ajeitada:

m = ∫ 0 1 x 2   2 x + 1 d x

A última integralzinha:

m = x 3 3 + x 2 4 x = 1 x = 0

Chegamos em:

m = 7 12

Bateu aí? Show demais.

Passo 2

Agora vamos tentar achar as coordenadas do centro de massa desse rolê; fazemos isso da seguinte forma:

x c = ∬ D x f x , y d x d y m               e             y c = ∬ D y f x , y d x d y m

Vamos startar pelo x ; só acharmos aquela integral:

∫ 0 1 ∫ x x + 1 x 2 y   d y   d x

Bora:

∫ 0 1 x 2 y 2 2 d x y = x + 1 y = x

Percebeu que é a mesma coisa do anterior?? Então vamo agilizando:

∫ 0 1 x 2 2 2 x + 1 d x

E então:

x c = 1 4 + 1 6 m = 5 / 12 7 / 12 = 5 7

Passo 3

E num último passo, a coordenada em y :

∫ 0 1 ∫ x x + 1 x y 2   d y   d x

Tranquilinho né?

∫ 0 1 x y 3 3 d x y = x + 1 y = x

Agora deu uma mudada, vamos ver onde isso vai dar:

∫ 0 1 x x + 1 3 - x 3 3 d x

Repara comigo:

x + 1 3 = x + 1 x + 1 2 = x + 1 x 2 + 2 x + 1 = x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1

Substituindo isso lá, o x 3 desaparece; ficamos com:

∫ 0 1 x 3 3 x 2 + 3 x + 1 d x

E integrando isso daí:

x 4 4 + x 3 3 + x 2 6 x = 1 x = 0

Chegamos em:

y c = 1 4 + 1 3 + 1 6 m = 9 / 12 7 / 12 = 9 7

E isso é tudo!! Se cuida e até a próxima!

Resposta

Portanto, temos m = 7 12 e as coordenadas do centro de massa são 5 7 ; 9 7 .

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