Calcule ∫ ∫ B f x ,   y d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = ∫ ∫ B y 3 e x y 2 d x d y

Ou:

F = ∫ a b ∫ c y d y y 3 e x y 2 d x d y = ∫ c d ∫ a x b x y 3 e x y 2 d y d x

Como a figura em questão é um retângulo, sabe-se que o valor das variáveis variam de forma constante. Dessa forma, é possível resolver as integrais de forma direta por integrais definidas com os limites de integração dados por:

0 ≤ x ≤ 1

E

1 ≤ y ≤ 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = ∫ 1 2 ∫ x = 0 x = 1 y 3 e x y 2 d x d y

F = ∫ 1 2 y 3 e x y 2 y 2 | x = 1 x = 0 d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = ∫ 1 2 y e y 2 - 1 d y

F = ∫ 1 2 y e y 2 - y d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y , o primeiro termo deve ser resolvido através da substituição simples com u = y 2 e d u = 2 y d y :

∫ y e y 2 d y = ∫ e u d u 2 = 1 2 e u

Logo:

F = 1 2 e y 2 - y 2 2 | y = 2 y = 1

E, substituindo o intervalo de integração:

F = 1 2 e 4 - 2 - e 2 + 1 2

F = 1 2 e 4 - e - 3

Resposta

1 2 e 4 - e - 3

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