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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 6j

Calcule int int_B f (x , y) d x d y sendo dados:

Passo 1

Chamando a integral dupla do teorema de Fubini de F :

F = int int_B f (x , y) d x d y

Podemos reescrevê-la como:

F = int int_B (y^3 e^(x y^2)) d x d y

Ou:

F = int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) (y^3 e^(x y^2)) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) (y^3 e^(x y^2)) d y] d x

Como a figura em questão é um retângulo, sabe-se que o valor das variáveis variam de forma constante. Dessa forma, é possível resolver as integrais de forma direta por integrais definidas com os limites de integração dados por:

0 <= x <= 1

E

1 <= y <= 2

Passo 2

Assim, é possível calcular:

F = int_1^2 [int_(x = 0)^(x = 1) (y^3 e^(x y^2)) d x] d y

F = int_1^2 y^3 [(e^(x y^2))/(y^2)] | [[x,=,1],[x,=,0]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

F = int_1^2 y [e^(y^2) - 1] d y

F = int_1^2 [y e^(y^2) - y] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y , o primeiro termo deve ser resolvido através da substituição simples com u = y^2 e d u = 2 y d y :

int y e^(y^2) d y = int e^u ((d u)/(2)) = (1)/(2) e^u

Logo:

F = [(1)/(2) e^(y^2) - (y^2)/(2)] | [[y,=,2],[y,=,1]]

E, substituindo o intervalo de integração:

F = [(1)/(2) e^4 - 2 - (e)/(2) + (1)/(2)]

F = (1)/(2) (e^4 - e - 3)

Resposta

(1)/(2) (e^4 - e - 3)

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