Calcule o volume do conjunto dado.

  1. {x, y, z ∈ R^3 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x^2 + y^2 ≤ z ≤ 2}

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ x 2 + y 2 2 d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z ...

V = ∫ 0 1 ∫ 0 1 2 - x 2 - y 2   d x d y

(lembra que o intervalo de cima diminui o de baixo)

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Vamos integrar em x primeiro...

V = ∫ 0 1 2 x - x 3 3 - x y 2 0 1 d y

V = ∫ 0 1 2 - 1 3 - y 2 d y

V = ∫ 0 1 5 3 - y 2 d y

Agora a gente integra em y ...

V = 5 3 y - y 3 3 0 1

V = 5 3 - 1 3

V = 4 3

Prontinho! Esse é o volume😉

Resposta

4 3

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