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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4d

Calcule o volume do conjunto dado.

  1. { (x , y , z) in R^3 | 0 <= x <= 1 , 0 <= y <= 1 , x^2 + y^2 <= z <= 2 }

Passo 1

Vamos começar montando a integral tripla pra calcular o volume. Tá vendo que aqui não tem uma função pra integrar? Mas a gente faz normalmente, só montar os intervalos, quer ver?

V = int_0^1 int_0^1 int_(x^2 + y^2)^2 d z d x d y

Isso aí, agora a gente joga essa função do intervalo pra dentro, quando a gente integra em z ...

V = int_0^1 int_0^1 2 - x^2 - y^2 d x d y

(lembra que o intervalo de cima diminui o de baixo)

Agora ficou familiar né? Então bora resolver...

Passo 2

Vamos integrar em x primeiro...

V = int_0^1 [2 x - (x^3)/(3) - x y^2]_0^1 d y

V = int_0^1 2 - (1)/(3) - y^2 d y

V = int_0^1 (5)/(3) - y^2 d y

Agora a gente integra em y ...

V = [(5)/(3) y - (y^3)/(3)]_0^1

V = (5)/(3) - (1)/(3)

V = (4)/(3)

Prontinho! Esse é o volume😉

Resposta

(4)/(3)

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