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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.4 - Ex. 1

Calcule ∂ f ∂ u → ( x 0 , y 0 ) , sendo dados:

a) f x , y = x 2 - 3 y 2 , x 0 , y 0 = ( 1,2 ) e u → o versor de 2 i → + j → .

b) f x , y = e x 2 - y 2 , x 0 , y 0 = ( 1,1 ) e u → o versor de ( 3 ,   4 ) .

c) f x , y = arctan ⁡ x y , x 0 , y 0 = ( 3,3 ) e u → = 1 2 , 1 2 .

d) f x , y = x y , x 0 , y 0 = ( 1,1 ) e u → o versor de i → + j → .

Passo 1

A questão pede para achar a derivada direcional de f no ponto ( x 0 , y 0 ) na direção do versor u → . Assim, temos que calcular:

∂ f ∂ u → x 0 , y 0 = ∇ f x 0 , y 0 ⋅ u →

Portanto, precisamos achar o gradiente de f no ponto dado. Lembrando que

∇ f = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Passo 2

Para o item (a), temos que f x , y = x 2 - 3 y 2 , de modo que

∇ f x , y = ( 2 x , - 6 y )

Assim,

∇ f 1,2 = ( 2 , - 12 )

O versor u → é dado por

u → = 1 5 2 ,   1

Portanto,

∂ f ∂ u → 1 , 2 = 2 ,   - 12 ⋅ 1 5 2 ,   1 = 1 5 4 - 12 = - 8 5

Passo 3

Para o item (b), temos que

f x = e x 2 - y 2

Assim,

∂ f ∂ x = 2 x   e x 2 - y 2                 e                 ∂ f ∂ y = - 2 y   e x 2 - y 2

Portanto,

∇ f 1,1 = ( 2 ,   - 2 )

Já o versor é dado por u → = 1 5 ( 3 ,   4 ) , de modo que

∂ f ∂ u → 1 , 1 = 2 ,   - 2 ⋅ 1 5 3 ,   4 = 1 5 6 - 8 = - 2 5

Passo 4

Para o item (c), temos que f x = arctan ⁡ x y . Assim,

∂ f ∂ x = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ 1 y = y x 2 + y 2

∂ f ∂ y = 1 1 + x 2 y 2 ⋅ - x y 2 = - x x 2 + y 2

Logo,

∇ f 3,3 = 3 18 , - 3 18 = 1 6 1 ,   - 1

Assim,

∂ f ∂ u → 3 , 3 = 1 6 1 ,   - 1 ⋅ 1 2 1 ,   1 = 0

Passo 5

Por fim, para o item (d), como f x = x y :

∇ f x , y = ( y ,   x )

Portanto,

∇ f 1,1 = ( 1 ,   1 )

Portanto,

∂ f ∂ u → 1 , 1 = 1 ,   1 ⋅ 1 2 1 ,   1 = 1 2 1 + 1 = 2 2 = 2

Resposta

- 8 5

- 2 5

0

2

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