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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.2 - Ex. 2c

Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique.

f x , y = x y 3 x 2 + y 2 s e   x , y ≠ 0,0 0 s e   x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Para determinar diferenciabilidade, podemos usar as derivadas parciais. Se temos derivadas parciais contínuas e bem definidas, a função é diferenciável, se algum ponto não obedecer a essas determinações então podemos dizer que ela não é diferenciável no ponto.

Calculando as derivadas parciais, primeiro em x

f x = y 3 x 2 + y 2 - x y 3 2 x x 2 + y 2 2 = x 2 y 3 + y 5 - 2 x 2 y 3 x 2 + y 2 2

f x = y 5 - x 2 y 3 x 2 + y 2 2

Derivando em y

f y = 3 x y 2 x 2 + y 2 - x y 3 2 y x 2 + y 2 2 = 3 x 3 y 2 + 3 x y 4 - 2 x y 4 x 2 + y 2 2

f y = 3 x 3 y 2 + x y 4 x 2 + y 2 2

Podemos verificar que as derivadas são bem definidas para pontos diferentes de 0,0 , então ela é diferenciável nesses pontos, vamos verificar então o ponto 0,0 .

Passo 2

Para verificar neste ponto vamos usar o limite

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - f 0,0 - f x ( 0,0 ) h - f y ( 0,0 ) k h 2 + k 2

Se o limite existir e for 0 , então podemos afirmar que f é diferenciável em 0,0 . Para isso precisaremos das derivadas parciais em 0,0 que encontramos pela definição

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f h , 0 - f ( 0,0 ) h

= lim h → 0 ⁡ h ⋅ 0 3 h 2 + 0 2 - 0 h = 0

Em y

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 , h - f ( 0,0 ) h

= lim h → 0 ⁡ 0 ⋅ h 3 0 2 + h 2 - 0 h = 0

Passo 3

Voltando ao limite da diferenciabilidade

lim h , k → 0,0 ⁡ f h , k - f 0,0 - f x ( 0,0 ) h - f y ( 0,0 ) k h 2 + k 2

= lim h , k → 0,0 ⁡ h k 3 h 2 + k 2 h 2 + k 2 = lim h , k → 0,0 ⁡ h k 3 h 2 + k 2 3 / 2

Usando coordenadas polares

lim r → 0 ⁡ r 4 cos ⁡ θ sen 3 ⁡ θ r 3 = lim r → 0 ⁡ r cos ⁡ θ sen 3 ⁡ θ = 0

Portanto f é diferenciável em todo o R 2 .

Resposta

R 2

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Dada z = f ( x 2 + y 2 ) , f diferenciável, mostrar que y ∂ z ∂ x - x ∂ z ∂ y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .b) x 2 + y 2 - z 2 - x y = 0
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .c) x y z - x - y + x 2 = 3
Supondo que a função diferenciável z = f ( x , y ) é definida implicitamente pela equação dada, determinar ∂ z ∂ xe ∂ z ∂ y .a) x 3 y 2 + x 3 + z 3 - z = 1
Determinar as derivadas parciais ∂ w ∂ u e ∂ w ∂ v . w = x 2 + 2 y 2 - z 2 ,x = 2 u v ,y = u + v ,z = u - v w = x y + x z + y z ,x = u 2 - v 2 ,y = u v ,z = u - v 2