Calcule dz / dt usando a regra da cadeia:

z = (x^2 + y^2) * ln(raiz(x^2 + y^2)) , x = e^t , y = e^(-t) .

Passo 1

Bom galera, vamos ter que usar a regra da cadeia, pra isso vamos precisar lembrar de uma formulinha, essa aqui:

d z d t = d z d x ⋅ d x d t + d z d y ⋅ d y d t

Parece até meio complicadinha, mas vamos aplicar na prática que eu prometo que as coisas vão ficar mais claras. 😊

Só que antes disso vamos dar uma desenvolvida na nossa função:

z = x 2 + y 2 ln ⁡ x 2 + y 2

→ z = x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar a nossa função dentro da formula (Lembrando que quando a gente deriva em função de uma variável consideramos a outra constante):

d z d t = d ( x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 ) d x ⋅ d ( e t ) d t + d x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 d y ⋅ d ( e - t ) d t

Passo 3

Agora vamos derivar separadamente as coisas:

d x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 d x

Usamos nisso a regra do produto e cadeia na parte do ln ⁡ x 2 + y 2 :

= 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + x 2 ⋅ 1 x 2 + y 2 ⋅ x x 2 + y 2 + y 2 ⋅ 1 x 2 + y 2 ⋅ x x 2 + y 2

= 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + x 2 ⋅ x x 2 + y 2 + y 2 ⋅ x x 2 + y 2

= 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + ( x 2 + y 2 ) ⋅ x x 2 + y 2

= 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + x

E se fizermos o mesmo derivando em função de y ficamos com:

d x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 d y

= 2 y ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y

As outras derivadas a gente pega a defição, assim:

d e t d t = e t

d ( e - t ) d t = - e - t

Passo 4

Por fim, substituimos o resultado do que derivamos e as váriaveis pelas funções de t :

d z d t = d ( x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 ) d x ⋅ d ( e t ) d t + d x 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y 2 ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 d y ⋅ d ( e - t ) d t

→ d z d t = 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + x ⋅ e t + 2 y ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y ⋅ ( - e - t )

→ d z d t = e t 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + x - 1 e t 2 y ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y

Então substituimos as variáveis:

d z d t = e t 2 x ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + x - 1 e t 2 y ⋅ ln ⁡ x 2 + y 2 + y

→ d z d t = e t 2 e t ⋅ ln ⁡ e t 2 + e - t 2 + e t - 1 e t 2 e - t ⋅ ln ⁡ e t 2 + e - t 2 + e - t

→ d z d t = e t e t ⋅ 2 ln ⁡ e t 2 + e - t 2 + e t - 1 e t e - t ⋅ 2 ln ⁡ e t 2 + e - t 2 + e - t

→ d z d t = e t e t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e t - e - t e - t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - t

→ d z d t = e 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e 2 t - e - 2 t ⋅ ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + e - 2 t

→ d z d t = e 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + 1 - e - 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + 1

Ufaa, protinho, eu sei que deu trabalho mas nem é tão dificil quanto parece. 😊

Resposta

d z d t = e 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + 1 - e - 2 t ln ⁡ e 2 t + e - 2 t + 1

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