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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 3.8 - Ex. 6a

Suponha que z = f ( x , y ) é uma função de classe C 1 , f 1,3 = - 1 , ∂ f ∂ x 1,3 = 4 e ∂ f ∂ y 1,3 = - 3 . Sabe-se que a curva σ t = t 2 , 4 t - 1 , z t , t ∈ R , está contida no gráfico da função z = f ( x , y ) .

Calcule d z d t t .

Passo 1

Bom galera, pra começar vamos dar uma pequena relembrada na formulinha da regra da cadeia

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

Ela é mais simples do que parece.

Passo 2

Belezinha, vamos aplicar o que a gente tem na fórmula:

∂ z ∂ t = ∂ z ∂ x ⋅ ∂ x ∂ t + ∂ z ∂ y ⋅ ∂ y ∂ t

→ ∂ z ∂ t = ∂ ( f ) ∂ t = ∂ ( f ) ∂ x ⋅ t 2 , 4 t - 1 ⋅ 2 t + ∂ ( f ) ∂ y ⋅ t 2 , 4 t - 1 4

Lembrando que na regra da cadeia quando derivamos algo, derivamos o todo e multiplicamos pela derivada interna, como no caso de t 2 foi multiplicado por 2 t . Assim ficamos com:

→ ∂ z ∂ t = ∂ f ∂ x t 2 , 4 t - 1 ⋅ 2 t + ∂ f ∂ y t 2 , 4 t - 1 ⋅ 4

Resposta

∂ z ∂ t = ∂ f ∂ x t 2 , 4 t - 1 ⋅ 2 t + ∂ f ∂ y t 2 , 4 t - 1 ⋅ 4

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