Enunciado

Calcule o valor da integral múltipla.

∫ ∫ D 1 1 + x 2   d A ,   o n d e   D   é   a   r e g i ã o   t r i a n g u l a r   c o m   v é r t i c e s   0,0 ,   1,1   e   0,1

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada. Ou seja, temos que montar essa integral com os limites de integração corretamente. Veja os vértices que temos de uma região triangular, perceba que x vai de 0 a 1 .

Perceba que y varia linearmente com x   então, tomemos a região de integração dada por:

0 ≤ x ≤ 1   ;     x ≤ y ≤ 1

Então temos:

∫ 0 1 ∫ x 1 1 1 + x 2   d y   d x  

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

∫ 0 1 ∫ x 1 1 1 + x 2   d y   d x  

Resolvendo a integral mais interna vamos ter

∫ x 1 1 1 + x 2   d y   = 1 1 + x 2 ⋅ y x 1 = 1 1 + x 2 - x 1 + x 2

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 1 1 1 + x 2 - x 1 + x 2   d x = ∫ 0 1 d x 1 + x 2 - ∫ 0 1 x   d x 1 + x 2

Para resolver a segunda integral vamos utilizar a seguinte substituição simples:

u =   1 + x 2 → d u d x = 2 x → d u 2 = x   d x , assim, obteremos

a r c t a n x 0 1 -   ∫ 1 2 1 u ⋅ d u 2

Integrando

a r c t a n x 0 1 - 1 2 ⋅ ln ⁡ u 1 2

Aplicando os limites de integração:

= π 4 - ln ⁡ 2 2

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

π 4 - ln ⁡ 2 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 π ∫ y π cos ⁡ x 2d xd y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ x 2 1 y 3 + 1d yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ a r c t gx π / 4 f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 1 2 ∫ 0 ln ⁡ x f x , yd yd x
Calcule a integral trocando a ordem de integração.49. ∫ 0 1 ∫ a r c s e ny π / 2 cos ⁡ x1 + cos 2 ⁡ xd xd y