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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 15

Calcule o valor da integral múltipla.

int int_R y e^(x y) d A , o n d e R = {(x , y)| 0 <= x <= 2 , 0 <= y <= 3 }

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Vamos lá, precisamos calcular a integral acima de acordo com a região dada. Para isso, vamos primeiramente reescrever nossa integral de forma que ela possa ser escrita como uma integral iterada, então, tomemos a região de integração dada por: R = {(x , y)| 0 <= x <= 2 , 0 <= y <= 3 } . Assim, conseguiremos reescrever nossa integral como sendo

int_0^3 int_0^2 y e^(x y) d x d y

Passo 2

Beleza, agora que temos nossa integral escrita de forma iterada podemos calcular seu valor de forma bem tranquila, vindo de ‘dentro pra fora’ e enquanto resolvemos uma integral em uma variável consideraremos tudo o que não for essa variável como constante. Dessa forma, temos

int_0^2 y e^(x y) d x = [(y e^(x y))/(y)]_0^2 = e^(2 y) - 1

Agora, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

int_0^3 e^(2 y) - 1 d y = [(e^(2 y))/(2) - y]_0^3 = (e^6)/(2) - 3 - (1)/(2) = (e^6 - 7)/(2)

Pronto, tá resolvido nosso exercício sem muitos problemas.

Resposta

(e^6 - 7)/(2)

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Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 4 x 4 f x , yd y d x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 4 ∫ 0 x f x , yd yd x
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 3 ∫ - 9 - y 2 9 - y 2 f x , y d x d y
Esboce a região de integração e mude a ordem de integração. ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y f x , yd x d y
Calcule a integral trocando a ordem de integração. ∫ 0 1 ∫ 3 y 3 e x 2d xd y