Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 12

Descreva o sólido cujo volume é dado pela integral

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

E calcule a integral.

Passo 1

E aí meus queridos, tudo bom com vocês?

A questão pede que a gente descreva o sólido cuja o volume é dado pela integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Vemos que nossa integral está em função de ρ , ϕ e θ , então estamos lidando com coordenadas esféricas. Observando os limites de integração concluímos que a variação de ρ , ϕ e θ no espaço é:

ρ , θ , ϕ |   1 ≤ ρ ≤ 2 ,   0 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π 2  

Então, para resolver essa questão e identificar qual sólido nossa integral está descrevendo, precisamos avaliar a variação de cada uma das variáveis e seu significado. Depois, podemos calcular a integral de dentro pra fora, de forma iterada.

Vem comigo!

Passo 2

Vamos analisar a variação de cada variável:

  • ρ : varia de 1 a 2.

    • Como ρ representa o raio da esfera, essa região está compreendida entre as esferas ρ = 1   e   ρ = 2 , no primeiro octante.

  • ϕ : varia de 0 a π 2 .

    • Como ϕ é um ângulo que mede a inclinação do sólido partindo do eixo z , como teremos só π 2 , o ângulo parte da parte positiva de z e para no plano x y .

  • θ : varia de 0 a   π 2 .

Esse ângulo mede a rotação do sólido no plano x y em torno do eixo z . Então temos que esse ângulo vai percorrer somente um quadrante desse plano.

Resumindo, nosso sólido vai ser o volume entre as esferas de raio 1 e 2, somente no primeiro octante, ou seja, somente na parte positiva de cada um dos eixos.

Feita essa primeira parte, agora só nos resta calcular quanto dará essa integral e para isso podemos proceder de forma padrão resolvendo ‘de dentro pra fora’ cada integral separadamente e considerando o que tiver da outra variável como constante.

Passo 3

Dessa forma, teremos o seguinte

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ

Resolvendo a integral mais interna em relação a ρ e tratando os demais limites como constantes, vamos ter

∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ = ρ 3 3 ⋅ s e n ϕ 1 2

Aplicando os limites de integração:

= 2 3 ⋅ s e n ϕ 3 - s e n ϕ 3 = 7 3 ⋅ s e n ϕ

Ficamos, então, com a seguinte integral dupla

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 7 3 ⋅ s e n ϕ   d ϕ   d θ

Procedendo de igual maneira, agora, para a integral de ϕ que é mais interna teremos,

∫ 0 π 2 7 3 ⋅ s e n ϕ   d ϕ

Aplicando os limites de integração:

= 7 3 ⋅ - cos ⁡ ϕ 0 π 2 = 7 3

Por fim, ficamos com a seguinte integral simples a ser resolvida

∫ 0 π 2   7 3   d θ = - 7 3 ⋅ θ 0 π 2

Aplicando os limites, temos:

= 7 π 6

Pronto, tá resolvido nosso exercício.

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = 7 π 6

Até não foi tão complicado, né?

Resposta

∫ 0 π 2 ∫ 0 π 2 ∫ 1 2 ρ 2 ⋅ s e n ϕ   d ρ   d ϕ   d θ = 7 π 6

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um sólido no primeiro octante é delimitado pelos planos y = 0 e z = 0 e pelas superfícies z = 4 - x 2 e x = y 2 (veja a figura a seguir). Sua função de densidade é δ x , y , z = k x y , sendo k consta
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 2
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ π 6
Calcule as integrais em coordenadas esféricas:int_0^(2 pi) int_0^((pi)/(3)) int_(sec (varphi))^2 3 rho^2 s e n (varphi) d rho d varphi d theta
As integrais anteriores sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem o mesmo valor e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. ∫ 0 1