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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4e

Calcule o volume do conjunto dado.

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = int int_B f (x , y) d x d y

Onde z = f (x , y) .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, é definida pela diferença entre elas. Além disso, B é dado por 1 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1 .

Passo 2

Assim, é possível calcular o volume como:

V = int_0^1 [int_1^2 (x + y + 2) - (x + y) d x] d y

V = int_0^1 [int_1^2 2 d x] d y

Portanto:

V = int_0^1 [2 x] | [[2],[1]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

V = int_0^1 [4 - 2] d y = int_0^1 2 d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

V = [2 y] | [[1],[0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

V = 2 u . v .

Resposta

2 u . v .

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