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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 3.1 - Ex. 4f

Calcule o volume do conjunto dado.

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = int int_B f (x , y) d x d y

Onde z = f (x , y) .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, é definida pela diferença entre elas. Além disso, B é dado por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1 .

Passo 2

Assim, é possível calcular o volume como:

V = int_0^1 [int_0^1 (e^(x + y)) - (1) d x] d y

V = int_0^1 [int_0^1 (e^x e^y - 1) d x] d y

Portanto:

V = int_0^1 [e^x e^y - x] | [[x,=,1],[x,=,0]] d y

Substituindo o intervalo de integração em x :

V = int_0^1 [e e^y - 1 - e^y + 0] d y = int_0^1 [(e - 1) e^y - 1] d y

Passo 3

Agora, integrando em relação a y :

V = [(e - 1) e^y - y] | [[1],[0]]

E, substituindo o intervalo de integração:

V = [(e - 1) e - 1] - [(e - 1) + 0]

V = e^2 - e - e

V = e^2 - 2 e u . v .

Resposta

e^2 - 2 e u . v .

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