Calcule
Passo 1
Observando o conjunto deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:
Ou:
Neste caso, é dado no enunciado como um triângulo e, logo, fazendo:
Ou ainda:
Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:
Então:
Portanto:
Passo 2
Agora, deve se determinar o conjunto , onde . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que é um triângulo dada pelo esboço:
Limitado pelas equações , e , tem-se que elas transformam as equações:
Quando
Quando
Quando
Vamos colocar isso no gráfico?
Dessa forma:
E
Dessa forma, tem-se:
Passo 3
Logo, mudando a variável na integral dupla:
Logo:
Substituindo o intervalo de integração:
Passo 4
Agora vem o pulo do gato:
Só que:
Portanto: