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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 4.2 - Ex. 1f

Calcule

Passo 1

Observando o conjunto B deseja-se calcular a integral dupla através da mudança de variável. Lembrando que, pelo teorema de Fubini:

int int_B f (x , y) d x d y

Ou:

int_a^b [int_(c (y))^(d (y)) f (x , y) d x] d y = int_c^d [int_(a (x))^(b (x)) f (x , y) d y] d x

Neste caso, B é dado no enunciado como um triângulo e, logo, fazendo:

u = y - x

v = 1 + y + x

Ou ainda:

x = (v - u - 1)/(2)

y = (v + u - 1)/(2)

Pretende-se determinar o resultado da transformação dada por:

d x d y = |(del (x , y))/(del (u , v))| d u d v

Então:

(del (x , y))/(del (u , v)) = |[[(del x)/(del u),(del x)/(del v)],[(del y)/(del u),(del y)/(del v)]]| = |[[-,(1)/(2),(1)/(2)],[(1)/(2),(1)/(2)]]| = - (1)/(4) - (1)/(4) = - (1)/(2)

|(del (x , y))/(del (rho , theta))| = (1)/(2)

Portanto:

d x d y = (1)/(2) d u d v

Passo 2

Agora, deve se determinar o conjunto B_rho theta , onde B = phi (B_rho theta) . Assim, o novo conjunto será dado através do limite do conjunto original. Visto que B é um triângulo dada pelo esboço:

Limitado pelas equações x + y = 1 , x = 0 e y = 0 , tem-se que elas transformam as equações:

Quando x = 0 -> 0 = (v - u - 1)/(2) -> u = v - 1

Quando y = 0 -> 0 = (v + u - 1)/(2) -> u = 1 - v

Quando x + y = 1 -> (v - u - 1)/(2) + (v + u - 1)/(2) = 1 -> v = 2

Vamos colocar isso no gráfico?

Dessa forma:

1 <= v <= 2

E

1 - v <= u <= v - 1

Dessa forma, tem-se:

B_u v = {(u , v) in R^2 | 1 <= v <= 2 e 1 - v <= u <= v - 1}

Passo 3

Logo, mudando a variável na integral dupla:

int int_B (root(3)(y - x))/(1 + y + x) d x d y = int int_B_rho theta [(root(3)(u))/(v)] (1)/(2) d u d v

= (1)/(2) int_1^2 (1)/(v) [int_(1 - v)^(v - 1) [root(3)(u)] d u] d v

Logo:

= (1)/(2) int_1^2 (1)/(v) [(3)/(4) u^(4 // 3)] | [[v,-,1],[1,-,v]] d v

Substituindo o intervalo de integração:

= (3)/(8) int_1^2 (1)/(v) [(v - 1)^(4 // 3) - (1 - v)^(4 // 3)] d v

Passo 4

Agora vem o pulo do gato:

(1 - v)^(4 // 3) = ((- 1) (v - 1))^(4 // 3) = (- 1)^(4 // 3) (v - 1)^(4 // 3)

Só que:

(- 1)^((4)/(3)) = root(3)((- 1)^4) = 1

Portanto:

= (3)/(8) int_1^2 (1)/(v) [(v - 1)^((4)/(3)) - (v - 1)^((4)/(3))] d v

= 0

Resposta

0

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