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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.2 - Ex. 1a

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os (x, y) tais que

1 ≤ x ≤ e     e 0 ≤ y ≤ l n x

Passo 1

Primeiro vamos entender o que se passa e o que se pede analisando o gráfico abaixo:

Função ln ⁡ x ,   c o m   1 ≤ x ≤ e

Vamos criar pequenos retângulos entre o eixo x e o lnx com largura infinitesimal (que poderemos aproximar para dx) e rotacionar esse relangulo em volta do eixo x criando cilindros.

Analisando o gráfico, você descobre que o raio desses cilindros é sempre a distância entre o eixo y e o valor de x avaliado no meio do dx.

Sabemos que o Volume desses cilindros é: 2 π r × h × l , sendo que l é espessura do cilindro (que vimos ser dx), h vai ser a distância entre lnx e 0 (que é o próprio lnx) e r é a distância do eixo y até o x (que vai ser sempre x).

Assim, somando todos esses cilindros teremos:

∫ 2 π x × l n x × d x

E como o exercício diz que o conjunto tem x variando de 1 a e temos também os limites de integração

∫ 1 e 2 π x × l n x × d x

Mão na massa!

Passo 2

∫ 2 π x × l n x × d x = 2 π ∫ x l n x d x

Essa integral tem cara de que pode ser resolvida por integração por partes, Mas como se faz mesmo?

Relembrando:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Temos duas funções multiplicando, uma é u e outra é dv, e aplicamos a fórmula dada.

No nosso caso é fácil ver que dv=xdx, por que v = x 2 2 , enquanto é muito complicado tirar a integral de lnx. Então fica a dica, sempre que numa integração por partes tiver um lnx, tenta usar o lnx como o u primeiro.

Ok, então u = lnx e d u = 1 x d x , substituindo:

∫ x l n x d x = l n x x 2 2 - ∫ 1 x x 2 2 d x = x 2 l n x 2 - ∫ x 2 d x = x 2 l n x 2 - x 2 4 = x 2 2 l n x - 1 2 + c

Então, chegamos a essa relação:

2 π ∫ x l n x d x = 2 π x 2 2 l n x - 1 2 + c

Passo 3

Agora aplicamos os limites de integração:

2 π ∫ 1 e x l n x d x = 2 π x 2 2 l n x - 1 2 + c e 1 = 2 π e 2 2 l n e - 1 2 + c - 1 2 2 l n 1 - 1 2 + c

Lembrando que ln ⁡ e = 1 e l n 1 = 0 , então:

= 2 π e 2 2 × 1 - 1 2 - 1 2 - 1 2 + ( c - c ) = 2 π e 2 4 + 1 4 = π 2 e 2 + 1

Resposta

V =   2 π ∫ 1 e x l n x d x = π 2 e 2 + 1

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